二分图/忆re.

rt：
本文分两部分

1. 二分图
2. 忆re.

part 1 二分图

定义

我会告诉你我OIwiki没看懂吗？

其实就是有一张图，将它的点分为红点和蓝点，红点只能和蓝点相连，同理蓝点只能和红点相连，满足这个条件的图就是二分图。

形式上的：

（还是贺了OIwiki）

判定

（没太用过）
给这张图染色，若直接相连的两个点颜色是相同的，则其不是一个二分图。（即如定义所述）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int color[1010];
int h[1010],to[20010],nxt[20010],tot;
void add(int x,int y)
{
	tot++;
	to[tot]=y;
	nxt[tot]=h[x];
	h[x]=tot; 
}
bool dfs(int x,int c) 
{
   color[x] = c; // 给当前节点染色
   for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
   {
   	    int y=to[i];
        if(color[y]==c) 
	    {
	       return false; // 相邻节点颜色相同，不是二分图
        }
        if(color[y]==0&&!dfs(y,-c)) 
	    {
	        return false; // 未染色，递归染色
		}
   }
   return true;
}
int main() 
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(color,0,sizeof(color));
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        int x,y;
	    cin>>x>>y;
		add(x,y);
		add(y,x);   
	}
   bool is=true;
   for (int i=1;i<=n;i++) 
   {
       if(color[i]==0&&!dfs(i,1)) 
	   {
           is=false;
           break;
       }
   }
   cout<<is<<endl;
   return 0;
}

二分图最大匹配

定义

二分图匹配的例子是\(p,t\)配对。设有若干\(t\)和\(p\)，每个只能配对一次，且允许配对的组合已由某个列表限定。此时，二分图最大匹配算法的任务就是在这些限制下，找到最多的配对对数，使尽可能多的成功配对。

匈牙利算法

rt:
我们有这样一张二分图；

让第一个红点先匹配：

然后匹配第二个红点：

发现第三个红点没有可以匹配的了，让一个红点给它让位：

最后第四个红点也需要一个红点给他让位：

都匹配上了，最大匹配数是\(4\)

例题

洛谷 P3386 【模板】二分图最大匹配

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int match[1010];
bool vis[1010];
int h[1010],to[50010],nxt[50010],tot;
void add(int x,int y)
{
	tot++;
	to[tot]=y;
	nxt[tot]=h[x];
	h[x]=tot;
}
bool Hungarian(int x)
{
    for(int i=h[x];i;i=nxt[i])
	{
	    int y=to[i];
		if(!vis[y])
		{
		    vis[y]=1;
		    if(!match[y]||Hungarian(match[y]))
		    {
		    	match[y]=x;
		    	return 1;
			}
		}	
	}	
	return 0;
} 
int main()
{
	int n,m,e;
	cin>>n>>m>>e;
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		add(x,y);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		if(Hungarian(i))
		{
			ans++;
		}
	}
	cout<<ans;
    return 0;
} 

二分图最小点覆盖

定义

在一张无向图中选择最少的顶点，满足每条边至少有一个端点被选。

Kőnig 定理

\[最小点覆盖中的顶点数量=最大匹配中的边数量 \]

证明见OIwiki

例题

洛谷 UVA1194 Machine Schedule

实现

还是匈牙利算法，与上题一致。

有向无环图最小路径覆盖

定义

在一张有向图中，选择最少数量的简单路径，使得所有顶点都恰好出现在一条路径中。

定理

\[有向无环图的最小路径覆盖+相应的二分图的最大匹配的边数量=顶点数量 \]

例题

洛谷 UVA1184 Air Raid

实现

还是匈牙利算法，与上题一致。但别忘了用顶点数减去最大匹配数

微丸呆栩

part 2 忆re.

呃呃呃
其实是一个很温柔的女生啊。（其实有时候也会有点火爆，但嘁嘁喳喳的像只小鸟）
会处理很多奇奇怪怪的情绪呢（我的）
属于那种说话很有意思的人
啊喜欢叫我大名（坏坏坏）
求贴贴不会被拒绝（我）
“每一刻都像永远”
QAQ还有一打不能说的就不放在这里了