P1002 [NOIP 2002 普及组] 过河卒

这道题是动态规划（DP）的经典入门题。核心思路是将大问题拆解为小问题：到达任意一点 \((i, j)\) 的路径条数，等于到达它左边点 \((i, j-1)\) 和上边点 \((i-1, j)\) 的路径条数之和。

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题解核心步骤

1. 状态定义

设 \(f[i][j]\) 为卒从 \((0, 0)\) 走到 \((i, j)\) 的路径总数。

2. 状态转移方程

对于非控制点，卒只能从左边或上边走过来：

\[f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] \]

如果是马的控制点，则该点的路径数为 \(0\)：

\[f[i][j] = 0 \]

3. 控制点判定

马的控制点包括马的位置 \((cx, cy)\) 以及马走“日”字跳到的 8 个位置。

4. 边界与细节

• 起始条件：\(f[0][0] = 1\)（前提是起点没被马占）。
• 数据范围：由于 \(n, m \le 20\)，路径数会超过 int（\(2^{31}-1\)），必须使用 long long。
• 顺序：按照从上到下、从左到右的顺序填表即可。

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代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

long long f[25][25];
bool ctrl[25][25];
int dx[] = {0, -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2}; // 包含(0,0)偏移量，方便循环标记
int dy[] = {0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};

int main() {
    int n, m, cx, cy;
    cin >> n >> m >> cx >> cy;

    // 1. 标记马的控制点
    for (int i = 0; i < 9; i++) {
        int nx = cx + dx[i], ny = cy + dy[i];
        if (nx >= 0 && nx <= n && ny >= 0 && ny <= m) ctrl[nx][ny] = true;
    }

    // 2. DP 初始化与填表
    f[0][0] = ctrl[0][0] ? 0 : 1;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            if (ctrl[i][j]) continue;
            if (i > 0) f[i][j] += f[i - 1][j];
            if (j > 0) f[i][j] += f[i][j - 1];
        }
    }

    cout << f[n][m];
    return 0;
}

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总结

这道题的关键在于不要越界（判断马的控制点时要检查是否在棋盘内）以及数据类型（用 long long）。