B4236 [四川青少年 C++ 算法设计大赛 2024] 4-5 年级组第 7 题

这是一个经典的数论问题。以下是针对该题目的简洁解析和 C++ 代码。

解题思路

1. 核心原理：

   阶乘末尾的 0 是由因子 \(2\) 和 \(5\) 相乘得到的（\(2 \times 5 = 10\)）。

2. 瓶颈因素：

   在 \(1\) 到 \(n\) 的乘积中，因子 \(2\) 的数量远远多于因子 \(5\) 的数量。因此，末尾 \(0\) 的个数完全取决于因子 \(5\) 的个数。

3. 计算方法：

   我们需要计算 \(n!\) 中包含多少个因子 \(5\)。

   • \(n\) 除以 \(5\)，得到包含至少 \(1\) 个因子 \(5\) 的数的个数。
   • \(n\) 除以 \(25\)（\(5^2\)），得到包含至少 \(2\) 个因子 \(5\) 的数的个数。
   • 以此类推，不断除以 \(5\) 并累加商，直到 \(n\) 为 \(0\)。

公式为：\(ans = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots\)

C++ 代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    // 题目数据范围 n < 2*10^9，int (约21亿) 刚好够用，
    // 但习惯上建议使用 long long 防止边界溢出或便于后续扩展。
    long long n;
    cin >> n;

    long long ans = 0;

    // 循环不断除以 5
    while (n > 0) {
        ans += n / 5; // 累加当前的商
        n /= 5;       // 更新 n
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(\log_5 n)\)。因为每次 \(n\) 都缩小 \(5\) 倍，计算非常快，对于 \(2 \times 10^9\) 的数据也能瞬间完成。
• 空间复杂度：\(O(1)\)。只需要常数级变量。

示例推演 (n=100)

1. \(100 / 5 = 20\)
2. \(20 / 5 = 4\)
3. \(4 / 5 = 0\) (结束)
4. 答案：\(20 + 4 = 24\) 个 \(0\)。