张量网络_约束可满足性问题

一、定义

定义（约束可满足问题CSP(\(\cal{F}\))）：输入时一些形式来自\(\cal{F}\)的约束\(R_j\)，每个\(R_j\)作用于布尔变量\(x_1,x_2,...x_n\)中的若干个，是否存在一个变量的赋值\(\pi:\{x_1,x_2,...x_n \} \rightarrow \{0,1\}\)，使得\(\pi\)满足每一个约束\(R_j\)。

CSP问题，就是通过规定可作用变量的约束的函数集合\(\cal{F}\)，定义的对应可满足问题CSP(\(\cal{F}\))。当\(\cal{F}\)变动的时候，CSP(\(\cal{F}\))就构成一个判定问题集合。如此一来，就可以研究\(\cal{F}\)如何决定CSP(\(\cal{F}\))的计算复杂性。

二、计数问题的难解性的判定标准

判定问题3SAT，对应一个计数问题#3SAT。

定义（#3SAT问题） 输入是一个3CNF公式\(\varphi\)，\(\varphi\)是关于布尔变量集\(X = \{x_1,x_2,...x_n\}\)的，问存在多少个赋值\(\pi: \{x_1,x_2,...x_n\} \rightarrow \{0,1\}\)，使得\(\pi\)满足\(\varphi\)。

定义（满足约束解数目问题(#CSP)）：输入时一些形式来自\(\cal{F}\)的约束\(R_j\)，每个\(R_j\)作用于布尔变量\(x_1,x_2,...x_n\)中的若干个，问存在多少个赋值\(\pi:\{x_1,x_2,...x_n \} \rightarrow \{0,1\}\)，使得\(\pi\)满足每一个约束\(R_j\)。即问：

\[\sum\limits_{\pi:\{x_1,x_2,...x_n\} \rightarrow \{0,1\}} \prod\limits_j R_j(\pi|_{inputs of R_j}) \]

定义 (#P困难性) 如果#P里的任何一个问题A都可以归约到某个问题B，则称B是#P困难的。

定理 #3SAT是#P困难的。

三、复数值域的满足约束解数目问题

四、#CSP与张量网络

定理 #\(CSP(\cal{F})\)等价于#\(\cal{F}|\{=_1,=_2,...,=_d...\}\)等价于#\(\cal{F}\cup \{=_1,=_2,...,=_d,...\}\)。

例如：三元相等函数

\["=_3"(e_1,e_2,e_3) = \left\{ \begin{aligned} 1 &,if \quad e_1 = e_2 = e_3\\ 0 &,otherwise \end{aligned} \right. \quad 类似于张量网络里"=_3" = [1,0,0,1] \]

五、图同态数目问题

一个图\(G(V_G,E_G)\)到图\(H(V_H,E_H)\)的同态，是一个从\(V_G\)到\(V_H\)的映射\(\psi\)，满足对任意\(e=(u,v)\in E_G,(\psi(u),\psi(v))\in E_H\)。

例子如下所示：

\(G\)中的每一定点对，都可以在\(H\)中找到，所以\(G\)是\(H\)的同态。下面的是图不同态的例子。

比如\(G\)中的\(<R,R>\)，在\(H\)中找不到映射的边。其实上述图同态问题，可以转化为图三染色问题。如果\(G\)是\(H\)的同态，那么\(G\)一定是\(H\)的一个正确染色实例。

定义 (到图H的同态数目问题)输入图是G,问G到H的同态数目。图H的边关系是一个二元关系\(H:V\times V \rightarrow \{0,1\}\)。

图同态数目问题就是#\(CSP(\{H\})\)问题。如下图所示。

其中\(H\)为约束。其中\(H\)的连通矩阵为：

相同顶点的边不能连在一起，即为0。