【比赛记录】2025CSP-S模拟赛60

A	B	C	D	Sum	Rank
50	32	50	0	132	15/24

A. 数列变换

\(f(j)=\left|\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} a_{i}-(-1)^{i-1} b_{i+j}\right|=\left|\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} a_{i}+\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i} b_{i+j}\right|\)，前一项和 \(j\) 没关系，可以 \(O(1)\) 维护变化，后一项直接预处理出来即可。然后二分一下就好了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define il inline
#define lwrb lower_bound
using namespace std;
namespace asbt{
const int maxn=5e5+5;
int n,m,q,a[maxn],b[maxn];
set<int> st;
il void calc(int x){
	auto it=st.lwrb(x);
	if(it==st.begin()){
		cout<<*it-x<<'\n';
	}else if(it==st.end()){
		cout<<x-*prev(it)<<'\n';
	}else{
		cout<<min(*it-x,x-*prev(it))<<'\n';
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>b[i];
		b[i]=b[i-1]+(i&1?-b[i]:b[i]);
	}
	for(int i=0;i<=m-n;i++){
		st.insert(i&1?b[i]-b[i+n]:b[i+n]-b[i]);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=i&1?a[i]:-a[i];
	}
	calc(-ans);
	while(q--){
		int l,r,x;
		cin>>l>>r>>x;
		if((r-l)%2==0){
			ans+=l&1?x:-x;
		}
		calc(-ans);
	}
	return 0;
}
}
signed main(){return asbt::main();}

B. 排列计数

原原原

首先可以转化成将一对带标号小球排列且满足相邻小球颜色不同的方案数。

记颜色数为 \(m\)，第 \(i\) 中颜色有 \(s_i\) 个，连成了 \(b_i\) 块。记 \(B=\sum b_i\)。此时的方案数为 \(\frac{B!}{\prod_{i=1}^{m}b_i!}\prod_{i=1}^{m}s_i!{s_i-1\choose b_i-1}\)。

设 \(f_{i,j}\) 为考虑了前 \(i\) 个颜色时 \(\sum b=j\)，\(\prod_{k=1}^{i}{s_k-1\choose b_k-1}\frac{1}{b_k!}\) 的值，容易 DP 求出。于是根据容斥，答案为：

\[\prod_{i=1}^{m}s_i!\sum_{j=m}^{n}j!f_{m,j}(-1)^{n-j} \]

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define il inline
#define lwrb lower_bound
using namespace std;
namespace asbt{
const int mod=1e9+7;
int T,n,a[605],f[605][605],s[605];
int fac[605],inv[605],lsh[605];
il int qpow(int x,int y=mod-2){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1){
			res=res*1ll*x%mod;
		}
		y>>=1,x=x*1ll*x%mod;
	}
	return res;
}
il void init(int n=600){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod;
	}
	inv[n]=qpow(fac[n]);
	for(int i=n;i;i--){
		inv[i-1]=inv[i]*1ll*i%mod;
	}
}
il int C(int x,int y){
	if(x<y||y<0){
		return 0;
	}
	return fac[x]*1ll*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	cin>>T;
	init();
	while(T--){
		cin>>n;
		int tot=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
			int x=a[i];
			a[i]=1;
			for(int j=2;j<=x/j;j++){
				if(x%j==0){
					int num=0;
					while(x%j==0){
						x/=j,num++;
					}
					if(num&1){
						a[i]*=j;
					}
				}
			}
			if(x>1){
				a[i]*=x;
			}
			lsh[++tot]=a[i];
//			cout<<a[i]<<' ';
		}
//		cout<<'\n';
		sort(lsh+1,lsh+tot+1);
		tot=unique(lsh+1,lsh+tot+1)-lsh-1;
		for(int i=1;i<=tot;i++){
			s[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]=lwrb(lsh+1,lsh+tot+1,a[i])-lsh;
			s[a[i]]++;
		}
		for(int i=0;i<=tot;i++){
			for(int j=0;j<=n;j++){
				f[i][j]=0;
			}
		}
		f[0][0]=1;
		for(int i=1,ss=0;i<=tot;i++){
			ss+=s[i];
			for(int j=1;j<=ss;j++){
				for(int k=1;k<=min(s[i],j);k++){
					f[i][j]=(f[i-1][j-k]*1ll*C(s[i]-1,k-1)%mod*inv[k]+f[i][j])%mod;
				}
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=tot;i<=n;i++){
			if((n-i)&1){
				ans=(ans-f[tot][i]*1ll*fac[i]%mod+mod)%mod;
			}else{
				ans=(f[tot][i]*1ll*fac[i]+ans)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=tot;i++){
			ans=ans*1ll*fac[s[i]]%mod;
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}
}
int main(){return asbt::main();}

C. 子串调整

D. 最小生成树