概率与期望

1.CF280C Game on Tree

题意：

给定一棵 \(n\) 个点的树，每次随机将一个未染黑的结点的子树全部染黑，求将整棵树染黑的期望次数。
\(1\leq n\leq 10^5\)

solution:

考虑一个点什么时候才可以染色：它到根上的所有结点没有染过色。

由于不在 \(x\) 到根节点路径上的点的染色与 \(x\) 的染色情况相互独立，所以 \(x\) 需要染色的概率就是 $\frac{1}{dep_x} $ ，\(x\) 对次数的贡献为 \(1\) 。那么答案为 \(\sum_{x = 1} ^ n \frac{1}{dep_x}\)

2.CF1097D Makoto and a Blackboard

题意：

给定 \(n,k\) ，一共会进行 \(k\) 次操作，每次操作会把 \(n\) 等概率的变成 \(n\) 的某个因数。

求操作 \(k\) 次后 \(n\) 的期望，答案对 \(10 ^ 9 + 7\) 取模

\(1 ≤ n ≤ 10 ^ {15}, 1 ≤ k ≤ 10 ^ 4\)

solution:

令 \(f_{n,k}\) 为数 \(n\) 进行 \(k\) 次操作后的期望值，由题得：

\[f_{k, n} = \begin{cases} n &k = 0\\ \frac{1}{d(n)}\sum_{d|n} f_{k - 1, d} & k \ne 0 \end{cases} \]

因为\(f\)为积性函数，将\(n\)质因数得到的取值为

\[f_{k, p ^ w} = \frac{1}{w + 1}\sum_{i = 0} ^ w f_{k - 1, p ^ i}\]

第一维可以用滚动数组优化

CF1187F Expected Square Beauty

题意：

给定一个长度为 \(n\)的数列 \({x_i}\) ，定义 \(B(x)\) 为将 \(x\) 划分为所有元素都相等的子段的最小子段数。

对于任意 \(1≤i≤n\) ，有 \(x_i\) 为 \([l_i,r_i]\) 区间上等概率的任何一个数，给定 \({l_i},{r_i}\) 两个数组，求 \(E((B(x))^ 2)\) 的值

\(1\leq n \leq 2 \times 10 ^ 5, 1 \leq l_i \leq r_i\leq 10 ^ 9\)

solution：

\(E(B(x))=E(∑^n_{i=1}[x_i−1≠x_i])=∑^n_{i=1}E([x_{i - 1}≠x_i])\) ，这样就容易计算整个序列的连续段数。

对于 \(E([x_{i - 1} = x_i])\) 是好求的，就等于两个区间交的长度除以两个区间长度之积，然后求得其互补事件即可。

\[E(B(x)^2) = E(\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^n[x_{i - 1}\ne x_{i}][x_{j - 1}\ne x_j]) = \sum_{i = 1} ^ n\sum_{j = 1} ^ nE([x_{i - 1} \ne x_i][x_{j - 1}\ne x_{j}]) \]

然后分类讨论：

·若 \(i = j\) ，结果是平凡的。
·若 \(|i - j| > 1\) ，那么这两个区间产生的贡献相互独立，直接相乘即可。
·若 \(|i - j| = 1\) ，想考虑将 \(j\) 记为 \(i + 1\) ，利用容斥可以得到

\[E([x_{i - 1} \ne x_i][x_{i}\ne x_{i + 1}]) = 1 - E([x_{i - 1} = x_i]) - E([x_{i +1} = x_i]) + E([x_{i - 1} = x_i][x_{i + 1} = x_i]) \]

由于对称性，最后一种情况产生的贡献要乘上二。