组合计数

1.CF838D Airplane Arrangements

题意简述：有 \(n\) 个座位， \(m\) 个人，每个人可以从任意一个座位出发，可向左，也可向右，在第一个空位坐下，求问方案数

solution：考虑虚拟一个 \(n + 1\) 的位置，那么这 \(n + 1\) 个位置构成一个环，问题就转化为求没有人坐到 \(n + 1\) 的位置的方案数。

环上的每一个位置都是等价的，每个点被占据的概率为 \(\frac{m}{n + 1}\) , 那么 n + 1 的位置没被占据的概率为 \(\frac{n + 1 - m}{n + 1}\) , 总方案数为 \((2(n + 1)) ^ m\) , 二者相乘就是答案。\(n + 1\) 作为起点的方案不会被计入合法方案，直接计算即可。

2.CF1036F Relatively Prime Powers

题意转化：求 \([2, n]\) 中有多少数字不能表示成别的数字的幂次，即不能写成 \(a ^ b(b > 1)\)的形式。

\(n \leq 10 ^ {18}\)

solution: 令 \(f(i)\) 表示最多能开 \(i\) 次方的数，\(g(i)\) 表示能开 \(i\) 次方的数，我们要求的即为 \(f(1)\)

\[g(i) = ⌊\sqrt[i]{n}⌋ - 1 = \sum_{i|j}f(j) \]

莫比乌斯反演（倍数式）得

\[f(i) = \sum_{i|d} \mu(\frac{d}{i})g(d) \]

\[ans = f(1) = \sum_{d = 1} ^ {\log_2 n} \mu(d) (⌊\sqrt[d]{n}⌋ - 1) \]

3.CF1043F Make It One

给定一个集合，要求你从中选出一些数使得他们 \(\gcd\) 为 \(1\) ，并且使选出的数最少。
\(n, a_i ≤ 3 × 10 ^ 5\)

solution:
假设我们最少选 \(x\) 个数，那么这 \(x\) 个数中任意选出 \(x - 1\) 个数他们都有公共的因子且互不相同，在 \(3\times 10 ^ 5\) 的范围内答案上限为 \(7\) 。我们可以直接枚举答案。

令 \(f(i, j)\) 表示选出 \(i\) 个数，\(\gcd\) 为 \(j\) 的倍数的方案数， \(cnt_j\) 为 \(j\) 的倍数。那么可以得到

\[f(i, j) = \binom{cnt_j}{i} - \sum_{j | k, k > j} f(i, k) \]

4.CF997C Sky Full of Stars

用三种颜色对 \(n \times n\) 的格子染色，问至少有一行或者一列只有一种颜色的方案数有多少
\(n \leq 10 ^ 6\)

solution:
令 \(f(i,j)\) 为钦定某 \(i\) 行 \(j\) 列的颜色相同的方案数，考虑容斥

\[ans = \sum_{i, j = 0, i + j > 0} ^ n \binom{n}{i} \binom{n}{j} \times (-1) ^ {i + j + 1} \times f(i,j) \]

考虑 \(i = 0\) 或 \(j = 0\) 时等效，将 \(f\) 拆为三部分，就有

\[2\sum_{i = 1} ^ n (-1) ^ {i + 1} \binom{n}{i} 3 ^ {n(n - i) + i} + \sum_{i = 1}^ n\sum_{j = 1} ^ n (-1) ^ {i + j + 1} \binom{n}{i}\binom{n}{j}3 ^{(n - i)(n - j) + 1} \]

后面指数部分拆开得到

\[2\sum_{i = 1} ^ n (-1) ^ {n + 1} \binom{n}{i}3 ^ {n(n - i) + i} -3 ^ {n ^ 2 + 1}\sum_{i = 1} ^ {n} (-1) ^ i \binom{n}{i} 3 ^ {-ni}\sum_{j = 1} ^ n\binom{n}{j}(-3^{i - n}) ^ j \]

用二项氏定理化简，由于此处下标从一开始，所以要排除 \(j = 0\) 的情况

\[ans = 2\sum_{i = 1} ^ n (-1) ^{ (i + 1)}\binom{n}{i} 3 ^ {n(n - i) + i} - 3 ^ {n ^ 2 + 1} \sum_{i = 1} ^ n (-1) ^ i \binom{n}{i} 3 ^ {-ni}((1 - 3 ^ {i - n}) ^ n - 1) \]