[ 题解 ] [ HNOI2015 ] [LuoguP3239] 亚瑟王 ( 概率dp )

HNOI2015 亚瑟王

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Luogu P3239

darkbzoj

题目描述

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly 都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共 \(n\) 张。游戏时，玩家将 \(n\) 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 \(1 - n\)。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 \(i\) 张卡牌的技能发动概率为 \(p_i\)，如果成功发动，则会对敌方造成 \(d_i\) 点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑，\(p_i\) 不会为 \(0\)，也不会为 \(1\)，即 \(0 < p_i < 1\)。 一局游戏一共有 \(r\) 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1. 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

   1.1. 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2. 否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 \(i\) 张

   2.1. 将其以 \(p_i\) 的概率发动技能。

   2.2. 如果技能发动，则对敌方造成 \(d_i\) 点伤害，并结束这一轮。

   2.3. 如果这张卡牌已经是最后一张（即 \(i\) 等于 \(n\)），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

   请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 \(T\)，代表测试数据组数。

接下来一共 \(T\) 组数据。

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 \(n\) 和 \(r\)，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第 \(i\) 行的两个数为 \(p_i\) 和 \(d_i\)，分别代表第 \(i\) 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 \(p_i\) 最多包含 \(4\) 位小数，且为一个合法的概率。

输出格式

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过 \(10^{-8}\) 时——即 \(\frac{|a-o|}{a} \leq 10^{-8}\) 时(其中 \(a\) 是标准答案， \(o\) 是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出 \(10\) 位小数。

输入样例

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

输出样例

3.2660250000

说明/提示

一共有 \(13\) 种可能的情况：

1. 第一轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.15\)，伤害为 \(5\)。

2. 第一轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.315\)，伤害为 \(3\)。

3. 第一轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
   概率为 \(0.035\)，伤害为 \(2\)。

4. 第一轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.075\)，伤害为 \(5\)。

5. 第一轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.0675\)，伤害为 \(4\)。

6. 第一轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
   概率为 \(0.0075\)，伤害为 \(3\)。

7. 第一轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.1575\)，伤害为 \(3\)。

8. 第一轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；
   概率为 \(0.04725\)，伤害为 \(4\)。

9. 第一轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
   概率为 \(0.11025\)，伤害为 \(1\)。

10. 第一轮不发动技能；第二轮中，第 \(1\) 张卡牌发动技能；
    概率为 \(0.0175\)，伤害为 \(2\)。

11. 第一轮不发动技能；第二轮中，第 \(2\) 张卡牌发动技能；
    概率为 \(0.00525\)，伤害为 \(3\)。

12. 第一轮不发动技能；第二轮中，第 \(3\) 张卡牌发动技能；
    概率为 0.011025，伤害为 \(1\)。

13. 第一轮不发动技能；第二轮亦不发动技能；
    概率为 \(0.001225\)，伤害为 \(0\)。

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和，为 \(3.266025\)。

对于所有测试数据，\(1 \leq T \leq 444， 1 \leq n \leq 220， 0 \leq r \leq 132， 0 < p_i < 1， 0 \leq d_i \leq 1000\)。

除非备注中有特殊说明，数据中 \(p_i\) 与 \(d_i\) 均为随机生成。

请注意可能存在的实数精度问题，并采取适当措施。

本题使用 special_judge。

题解

概率 dp

首先，设第 \(i\) 卡牌发动技能的概率为 \(f_i\)，所有卡牌造成的总伤害的期望为 \(E_d\)。

那么，这张卡牌造成的伤害即为 \(f_i d_i\)。（\(d\) 为原题中的伤害）

由于数学期望的线性性质^[1] \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)，可知：

\[E_d = \sum_{i=1}^n f_i d_i \]

那么，这题的目标即为求 \(f_i\)。

先考虑 \(f_1\)

显然，\(1 - p_1\) 为 \(1\) 号卡牌不发动的概率，因为

1. 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则
   1.1. 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

所以 \(1\) 号牌一直不出的概率为 \((1-p_1)^r\)。（\(r\) 为原题中游戏的轮数）

说明 \(1\) 号牌发动的概率 \(f_1 = 1 - (1 - p_1)^r\)。

再考虑 \(f_2\)

分类讨论：

1. 假如 \(1\) 号卡牌发动了技能

   \[f_2 = 1 - (1 - p_2)^{r - 1} \]

   因为 \(1\) 号卡牌发动了技能，那么：

   2. 否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 \(i\) 张
      2.1. 将其以 \(p_i\) 的概率发动技能。
      2.2 如果技能发动，则对敌方造成 \(d_i\) 点伤害，并结束这一轮。

   第一张牌发动了技能，根据 2.2 结束了这一轮，即与第二张牌发动的概率无关，所以这次为发动的概率不算在 \(f_2\) 中，所以得到指数为 \(r - 1\)。

2. 假如 \(1\) 号卡牌没有发动技能

   同 \(f_1\) 的情况，

   \[f_2 = 1 - (1 - p_2)^r \]

再考虑接下来的 \(f_i\)

假设在第 \(i\) 张牌尝试发动前已有 \(j\) 张牌成功发动了技能，那么：

\[f_i = 1 - (1 - p_i)^{r-j} \]

考虑到数据较小，

\(1 \leq T \leq 444， 1 \leq n \leq 220， 0 \leq r \leq 132， 0 < p_i < 1， 0 \leq d_i \leq 1000\)

要处理 \(f_i\) ，可以用动态规划。

设 \(\operatorname{dp}_{i,j}\) 表示前 \(i\) 张牌中，有 \(j\) 张发动了技能的概率。

分类讨论：

1. 第 \(i\) 张牌发动了技能

   1. 因为有牌发动了技能，所以要保证 \(j > 0\)

   2. 求状态转移方程

      不难看出，前 \(i\) 张牌中，有 \(j\) 张发动了技能的概率，应为前 \(i - 1\) 张牌中，有 \(j - 1\) 张发动了技能的概率乘上第 \(i\) 张牌发动的概率。

      由前文推导到的 \(\small{f_i = 1 - (1 - p_i)^{r-j}}\) 可知第 \(i\) 张牌不发动的概率应该是 \(\small{f_i = 1 - (1 - p_i)^{r-j}}\) 但已经确定这张牌会发动，所以其概率实际为 \(f_i = 1 - (1 - p_i)^{r-j}\)。

      得到转移方程 ①：

      \[\operatorname{dp}_{i,j} = \operatorname{dp}_{i-1,j-1} \cdot (1 - (1 - p_i)^{r - j + 1})\quad(j > 0) \]

2. 第 \(i\) 张牌没有发动技能

   1. 因为第 \(i\) 张牌没有发动技能，所以 \(j \leq i - 1 \iff i \neq j\)。

   2. 求状态转移方程

      不难看出，前 \(i\) 张牌中，有 \(j\) 张发动了技能的概率，应为前 \(i - 1\) 张牌中，有 \(j\) 张发动了技能的概率乘上第 \(i\) 张牌不发动的概率。

      第 \(i\) 张牌不发动的概率就为 \((1 - p_i) ^ {r - j}\)。

      得出状态转移方程 ②：

      \[\operatorname{dp}_{i,j} = \operatorname{dp}_{i-1,j} \cdot (1 - p_i)^{r - j}\quad(i \neq j) \]

用动态规划即可求出 \(\operatorname{dp}\)。

求出了 \(\operatorname{dp}\)，要求 \(f\)。

显然，发动第 \(i\) 张牌的概率为前 \(i-1\) 张牌中，有 \(j\) 张发动了技能的概率乘上第 \(i\) 张牌发动的概率的和。（\(j\in\{x \mid 0 \leq x \leq i - 1, x\in\mathbb{Z} \}\)）

\[f_i = \sum_{j=0}^{i -1} \operatorname{dp}_{i - 1, j} \cdot (1 - (1 - p_i)^{r - j}) \]

求出了 \(f\)，即可求出 \(E_d\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>

const int MAX_N = 4e2;

double p[MAX_N];
int d[MAX_N];

double dp[MAX_N][MAX_N];
double f[MAX_N];

double Pw[MAX_N][MAX_N];

int main()
{
    int T;
    std::cin >> T;

    for (int t = 0; t < T; t++)
    {
        // Init
        std::memset(dp, 0, sizeof(dp));
        std::memset(f, 0, sizeof(f));

        int n, r;
        std::cin >> n >> r;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            std::cin >> p[i] >> d[i];

        // Init
        dp[1][0] = std::pow(1 - p[1], r);
        dp[1][1] = 1 - dp[1][0];
        f[1] = dp[1][1];

        // Get dp
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= std::min(i, r); j++)
            {
                if (j > 0)
                    // f[i][j] = f[i - 1][j - 1] * (1 - (1 - p[i]) ^ (r - j + 1))  (j != 0) ==> do damage from i
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1] * (1 - std::pow(1 - p[i], r - j + 1));
                if (i != j)
                    // f[i][j] = f[i - 1][j] * (1 - p[i]) ^ (r - j)  (i != j) ==> no damage from i
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j] * std::pow(1 - p[i], r - j);
            }
        }

        // Get f
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= std::min(i - 1, r); j++)
                f[i] += dp[i - 1][j] * (1 - std::pow(1 - p[i], r - j));

        // Get ans
        double ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            ans += f[i] * d[i];

        std::cout << std::fixed << std::setprecision(10) << ans << "\n";
    }

    return 0;
}

参考

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1. 如何理解数学期望的线性性质？ ↩︎