Codeforces Round 697(Div 3)题解(1475A~G)
Codeforces Round 697(Div 3)题解(1475A~G)
\(zhanglichen\ 2021.2.11\)
\(A.Odd\ Divisor\)
题意：
检验\(n\)是否有大于1的奇数除数。
题解：
除了2的整数次幂，都是合法答案。
所以不断把\(n\)除2，看看是否能遇到奇数即可。
时间复杂度\(O(logn)\)。
\(B.New\ Year's\ Number\)
题意：
询问\(n\)是否可以化成若干个2020和若干个2021的和。
题解：
贪心的做法是先把\(n\)分成尽可能多的2020，分不了的数给已经被分配的2020，让它们中的一部分变成2021。
所以可以设\(x=n/2020\)，\(y=n\%2020\)。
当\(y<=x\)的时候，就一定有解。
时间复杂度\(O(1)\)。
\(C.Ball\ in\ Berland\)
题意：
给出来参加舞会的男生和女生的人数，然后给出\(k\)对必须在一起跳舞的夫妇。
现在请你必须选出2对来跳舞，但是不能有一个男生都在2对中，或者一个女生都在2对中。
询问有多少种选择方法。
题解：
给出的男生和女生人数其实是没啥用的。
考虑枚举单独选择每一对的情况，假设我们当前枚举的是第\(i\)对，那么与第\(i\)对能凑成组合的只可能是不包含这一对的男生和女生的对。
这样我们就可以先预处理出每个男生参加了多少对，每个女生参加了多少对。
然后枚举每一对。
假设我们当前枚举的这一对，男生叫\(x\)，女生叫\(y\)，那么可以与这一对一起选的对数就是\(k-cnt(x)-cnt(y)+1\)
为什么最后要加一，因为之前的减法把这一对本身也算进去了。
时间复杂度\(O(n)\)。
\(D.Cleaning\ the\ Phone\)
题意：
给出\(n\)个手机应用，它们每个占用一定的内存\(a_i\)，删除它们自身需要花费费用\(b_i\)。
\(b_i\)只可能是1或2。
现在想删除至少\(m\)个内存的应用，询问怎么删使得总费用最少。
题解：
注意到\(b_i\)只可能是\(1\)或\(2\)这个条件。
首先考虑本题的弱化版本：
每个手机应用占用的费用都一样，怎么删使得总费用最少。
那肯定是删除最少的应用费用最少。所以就把所有应用从大到小排个序，然后从前往后枚举，一旦总内存大于\(m\)了就停止，这样费用一定是最少的。
再回到这个问题。
当删除花费1的应用数量固定时，删除花费2的应用的数量也固定。
考虑这个思路：
对花费1和花费2的应用分两个数组存，分别从大到小排序。然后枚举删除花费1的应用的数量的方案，取最优解。
那么怎么对每个方案取删除花费2的应用的方案数呢？
考虑先预处理花费2的数组的前缀和，转化为对花费2的数组的前缀和数组取1个最小的下标使得总内存大于等于\(m\)。
前缀和数组具有单调性，这一步可以二分。
所以枚举+二分顺利通过此题。
时间复杂度\(O(nlogn)\)。
\(E.Advertising\ Agency\)
题意：
给出一个数组，可以选择其中的\(k\)个数字。
询问选择数字和的方案数最大有多少种。
题解：
首先我们将数组排序，取前\(k\)个最大的，作为一种方案。
其他方案的种数只和数组里有多少个和第\(k\)个数一样的数有关。
假设前\(k\)个里有\(x\)个和第\(k\)个数一样，整个数组里有\(y\)个和第\(k\)个数一样。
问题就转化为在\(y\)个一样的数里选\(x\)个有多少种选法。
那就是简单的排列组合问题了。求组合数可以暴力也可以卢卡斯。
\(F.Unusual\ Matrix\)
题意：
给出2个01矩阵\(A\)和\(B\)。
支持2种操作：
垂直异或：取\(A\)里的一列元素异或1。
水平异或：取\(A\)里的一行元素异或1。
询问是否可以异或使得\(A\)变成\(B\)。
题解：
对于一个元素来说，想让他发生变化，所在的行和列必须有一个被操作奇数次。
对于一行来说：
如果它被操作奇数次，那么这一行上面不同的元素所在的列必定被操作偶数次。
如果它被操作偶数次，那么这一行上面不同的元素所在的行必定被操作奇数次。
可以把每一行每一列操作奇数次、偶数次单独作为点建图，然后并查集，看是不是有一个连通块包含2n个点。
可以证明同一行不会合并。
时间复杂度\(O(nlogn)\)。
\(G.Strange\ Beauty\)
题意：
一个漂亮数组被定义为：数组里的元素两两之间可以被整除。
询问数组\(a\)删除的最少元素，使得剩下的元素组成的数组是漂亮数组。
题解：
先将数组\(a\)从小到大排序。
然后从前往后枚举，定义状态\(f(x)\)为以元素\(x\)结尾的漂亮序列的最大长度。
对于\(a\)里的每个元素\(y\)，只需要枚举\(y\)的所有因子的状态，取最大的+1，就是以\(y\)结尾的最优解。
最后\(min_{i=1}^n(n-f(a_i))\)就是答案。
时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)
