【算法】Floyd-Warshall算法（任意两点间的最短路问题）（判断负圈）

问题

求解任意两点间最短路问题也叫多源最短路径问题。

可解决途径

一种方法是把图中每个点当做源点重复算n次Dijkstra 算法（Dijkstra是求单源最短路径的算法），时间复杂度O（n^{3），据说可以优化成O（n}2logn）。
另一种方法时最经典的算法Floyd算法，时间复杂度也是O（n^3），但是关键代码只有5行，适合时间要求不苛刻的时候编写。

Floyd算法基本思想

Floyd算法本质上是一个动态规划算法。对于每个顶点k，枚举其他两个顶点i和j，若i和j之间的距离大于i到k加上k到j的距离，那么更新i到j之间的距离。

【注】Floyd算法允许图中有带负权值的边，但不允许有包含带负权值的边组成的回路。（这句话摘自书上，本人并未深刻理解，若有大佬理解，望指教一二）

基本操作

d[k][i][j] 表示 顶点i 经过顶点k 到顶点j 的最短路径长度。

分两种情况讨论：

1. 经过顶点k, d[k][i][j] = d[k-1][i][j]。 即等于只用前k-1个顶点时的最短路径

2. 不经过顶点k, d[k][i][j] = d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]。 即等于i离k的最路路径+k离j的最短路径。

可以得到递推式 d[k][i][j] = min( d[k-1][i][j] , d[k-1][i][k] + d[k-1][s][k] );

还可优化

由于第k层只与k-1层相关，也可以用二维表示：

（本图来自知乎，放在此处便于大家理解，侵删）
d[i][j] = min( d[i][j] , d[i][k] + d[k][j] );

精简版算法模板：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000 

int d[MAX_V][MAX_V]; // d[u][v]表示边u->v的距离（不存在时设为INF，d[i][i] = 0） 
int V;             //  顶点数 
void warshall_floyd(){
    
    for(int k = 0;k < V; k++){
        for(int i = 0;i < V; i++){
            for(int j = 0;j < V; j++){
                if(i != j && i != k && j != k)
                    if(d[i][k] != INF && d[k][j] != INF) //INF与正数相加会溢出
                        d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}
int main(){
}