欧拉函数学习笔记

前言

本人能力有限，有错误欢迎指出。

定义

\(\varphi(n)\) 表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。

公式

设 \(n=\prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{k_i}\)，有

\[\begin{aligned}\varphi(n)&=\prod_{i=1}^s\varphi(p_i^{k_i})\\&=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}\\&=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}(1-p_i^{-1})\\&=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}(1-\frac{1}{p_i})\\&=\prod_{i=1}^sp_i^{k_i}\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\\&=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\end{aligned} \]

性质

1. 欧拉函数是积性函数。具体地：

• 当 \(gcd(n,m)=1\) 时，\(\varphi(n \times m)=\varphi(n) \times \varphi(m)\)。
• 否则，\(\varphi(n \times m)=\varphi(n) \times m\)。

2. \(n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)，即 \(n\) 的因数（包括 \(1\) 和 \(n\)）的欧拉函数之和等于 \(n\)。

代码

• 求单个 \(\varphi(n)\)。

long long eular(long long n) {
    long long ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++) {
        if(n%i==0) {
            ans−=ans/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans−=ans/n;
    return ans;
}

• 求多个 \(\varphi(n)\)，利用欧拉筛和性质 \(1\)。

void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!is[i]){
			pri[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++){
            is[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
            else{
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			}
        }
    }
}

习题

P2568 GCD

P2158 [SDOI2008] 仪仗队