素数

 素数判定方法

方法一：试除法

从2到sqrt(n)，依次试除

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
bool isPrime(ll n){
	if(n<2)return 0;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0)return 0;
	return 1;
}
int main(){
	ll n;cin>>n;
	if(isPrime(n))cout<<n<<" is a Prime.";
	else cout<<n<<" isn't a Prime.";
	return 0;
}

方法二：费马素性测试

运用费马小定理判定素数，但不完全正确

方法三：Miller_Rabin素性测试

费马素性测试的改进版，是已知的最快的随机素数测试算法

例题：hdu2138

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll quickPow(ll a,ll b,ll m){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=(ans*a)%m;
		a=(a*a)%m;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
bool witness(ll a,ll n){
	ll u=n-1;int t=0;
	while(!(u&1))u>>=1,t++;
	ll x1,x2;
	x1=quickPow(a,u,n);
	for(int i=1;i<=t;i++){
		x2=quickPow(x1,2,n);
		if(x2==1&&x1!=1&&x1!=n-1)return 1;
		x1=x2;
	}
	if(x1!=1)return 1;
	return 0;
}
int Miller_Rabin(ll n,int s){
	if(n<2)return 0;
	if(n==2)return 1;
	if(n%2==0)return 0;
	for(int i=0;i<s&&i<n;i++){
		ll a=rand()%(n-1)+1;
		if(witness(a,n))return 0;
	}
	return 1;
}
int main(){
	int T,n;
	while(cin>>T){
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=T;i++){
			cin>>n;
			ans+=Miller_Rabin(n,50);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}

　　

质因数分解

方法一：欧拉筛

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e8+39+7,M = 1e7+39+7;
int prime[M];int vis[N];
int Solve(int n){
	int k=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i])vis[i]=i,prime[k++]=i;
		for(int j=0;j<k;j++){
			if(i*prime[j]>n)break;
			vis[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
	return k;
} 
int main(){
	int n;cin>>n;
	Solve(n);
	cout<<vis[n];
	return 0;
}

　　

方法二：试除法

与判断素数的试除法代码相似

 

素数筛法

方法一：埃氏筛

轮流筛掉素数的倍数即可

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5+39+7;
int prime[N];bool vis[N];
int Solve(int n){
	int k=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++k]=i;
			for(int j=i*2;j<=n;j=i*(j/i+1))vis[j]=1;
		}
	}
	return k;
} 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,m;cin>>n;
	int k=Solve(100000);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>m;
		if(m==prime[lower_bound(prime+1,prime+k+1,m)-prime])cout<<m<<' ';
	}
	return 0;
}

　　

方法二：欧拉筛

埃氏筛的改进版，每次只用整数x的最小质因数筛掉，从而将时间复杂度降到线性

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e8+39+7,M = 1e7+39+7;
int prime[M];bool vis[N];
int Solve(int n){
	int k=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i])prime[k++]=i;
		for(int j=0;j<k;j++){
			if(i*prime[j]>n)break;
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
	return k;
} 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,m,w;cin>>n>>m;
	int k=Solve(n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>w;
		cout<<prime[w-1]<<'\n';
	}
	return 0;
}