求root(n,k)

题目描述

    N<k时，root(N,k) = N，否则，root(N,k) = root(N',k)。N'为N的k进制表示的各位数字之和。输入x,y,k，输出root(x^y,k)的值 (这里^为乘方，不是异或)，2=<k<=16，0<x,y<2000000000，有一半的测试点里 x^y 会溢出int的范围(>=2000000000) 

输入描述:

    每组测试数据包括一行，x(0<x<2000000000), y(0<y<2000000000), k(2<=k<=16)

输出描述:

    输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值

示例1

输入

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4 4 10

输出

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4

分析：

对于root(N, k)中的N，我们可以把N看作关于k的多项式，也就是N = a0 + a1*k + a2*k^2 + … + an* k^n，而我们要求的root函数就是这个多项式的系数和，也就是a0 + a1 + a2 + ... + an。下面我们考虑root(N^2, k)。此时N^2 = (a0 + a1*k + a2*k^2 + … + an* k^n)^2，而这个多项式展开后的系数和是(a0 + a1 + a2 + … + an)^2，这个结果刚好就是先对N取root函数再平方的结果。实际上，我们很容易就能看出，多项式先乘方再取系数和(先乘再去掉k)与先取系数和再乘方(先去掉k再乘)，结果是一样的(因为有没有k并不影响系数间的相乘，也不影响相乘之后的求和)，于是乎，我们可以得到以下的递推公式：

 

 

root(x, y, k) = root((root(x, y / 2, k))^2, 1, k)， y为偶数

 

root(x, y, k) = root((root(x, y / 2, k))^2 * root(x, 1, k), 1, k)， y为非1的奇数

 

root(x, 1, k) = x % k + x / k % k + ...(大于k的话再重复求root)

 

 

有了递推关系之后，我们就可以直接写出一个O(log n)的递归解法了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int x,int y,int k)
{
　　if(y==1)
　　{
　　　　if(x<k)
　　　　return x;
　　　　while(x>=k)
　　　　{
　　　　　　int ans=0;
　　　　　　while(x)
　　　　　　{
　　　　　　　　ans+=x%k;
　　　　　　　　x=x/k;
　　　　　　}
　　　　　　x=ans;
　　　　}
　　　　return x;
　　}
　　else
　　{
　　　　if(y%2==0)
　　　　　　return f(f(x,y/2,k)*f(x,y/2,k),1,k);
　　　　else return f(f(x,y/2,k)*f(x,y/2,k)*f(x,1,k),1,k);
　　}
}
int main()
{
　　int answer;
　　int x,y,k;
　　while(cin>>x>>y>>k)
　　{
　　　　answer=f(x,y,k);
　　　　cout<<answer<<endl;
　　}
　　return 0;
}