P6773 [NOI2020] 命运

题目

给定结点个数为 \(n\) 的一棵树和 \(m\) 个祖先关系点对，每条边可染成黑白的，每个给定点对之间路径至少存在一条边为黑色，求合法染色方案数。

分析

对于至少容易想到容斥，这里采用经典的集合的交等价于全集减去集合补的并，因此答案转化为：

\[\sum_{S}(-1)^{|S|}2^{n-1-|\bigcap_{p\in S} p|} \]

直接枚举显然超时，此处容斥的容斥系数仅为 \((-1)^{|S|}\)，可以在动态规划转移过程中解决，且路径并的贡献是可拆分的，因此考虑动态规划。
记 \(f_{u,i}\) 为 \(u\) 子树内，所取的点对最高顶点的深度为 \(j\) 的容斥数量。
转移有：

1. 合并当前结点 \(u\) 与儿子 \(v\)。

\[f_{u,\min(i,j)}\leftarrow f_{u,i}\times f_{v,j} \]

2. 添加一条点对，记 \(D\) 为顶点深度。

\[f_{u,i}\leftarrow -\sum_{\min(j,D)=i} f_{u,j} \]

观察该式，发现本质上是三个转移式，即：

\[\begin{equation} \begin{cases} f_{u,i}=0,(i<D) \\ f_{u,i}=-\sum_{j=i+1}^n f_{u,j},(i=D) \\ f_{u,i}=f_{u,i},(i>D) \end{cases} \end{equation}\]

优化考虑线段树合并（因为第二维是由点对增加的，且信息可快速合并)。
第二种转移是容易的，只需区间赋值，区间求和即可，考虑第一种转移，将转移式更具体写出即为：

\[f_{u,i}\leftarrow f_{u,i}\times \sum_{j=i+1}^n f_{v,j}+f_{v,i}\times \sum_{j=i+1}^n f_{u,i} \]

这个式子和PKUSC2018 MINMAX一样的，当存在单个结点时直接区间乘即可。
总复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。

代码