246. 区间最大公约数

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区间修改操作之后，最大公约数无法维护，但是单点修改之后，最大公约数是可以维护的。

这里有一个蛮重要的结论。

注：\((S)\)表示集合S的最大公约数。

\((a_1,a_2,...a_n)=(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,...,a_n-a_{n-1})\)

证明：

设\(d\)是\({a_1,a_2,...,a_n}\)的一个公约数（注意，不是最大）。

所以\(d|a_1,d|a_2,...d|a_n\)。

设\(a_1=k_1d\)，\(a_2=k_2d\)。

\(a_1-a_2=k_1d-k_2d=d(k_1-k_2)\)，

所以\(d|(a_1-a_2)\)。

同理可得，\(d\)也是\({a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1}}\)的一个公约数。

不妨令\(d=(a_1,a_2,...a_n)\)，而最大公约数大于等于任何一个公约数。

所以\((a_1,a_2,...a_n) \le (a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})\)。

类似地，令\(d=(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})\)。

所以\(d|a_1, d|{a_2-a_1},...,d|{a_n-a_{n-1}}\)。

令\(a_1=k_1d, a_2-a_1=k_2d\)。

则\(a_2=(a_2-a_1)+a_1=k_2d+k_1d=(k_1+k_2)d\)，所以\(d|a_2\)。

同理，\(d\)是\({a_1,a_2,...,a_n}\)的一个公约数。

又因为最大公约数大于任何一个公约数，所以：

\((a_1,a_2,...,a_n) \ge (a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})\)

综上，\((a_1,a_2,...,a_n) = (a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})\)。

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回到原题，我们可以维护一个差分数列，这样\([L,R]\)的最大公约数就是\((a_L, query([L+1,R]))\)，而且只有单点修改，容易维护最大公约数，由于要用到原值，在维护一个区间和sum即可。

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