FM在特征组合中的应用
特征组合
| x1年龄 | x2北京 | x3上海 | x4深圳 | x5男 | x6女 | |
| 用户1 | 23 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 用户2 | 31 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
如上例特征X有6个维度，年龄是连续值，城市和性别用one-hot表示，假设我们用最简单的线性拟合来预测y值。
$$\hat{y}=w_0+\sum_{i=1}^n{w_ix_i}$$
实际中“北京的男性用户”、“上海的女性用户”这种组合特征可能是有用的，即$x_i,x_j$（$x_i,x_j$都是one-hot特征）同时为1时可能是一个很有用的特征，这种组合特征是$x_i$和$x_j$的线性组合所无法表示的。这样一来乘积$x_ix_j$ 就成一个新的特征。为了不错过任何一个这种可能有用的组合特征，我们穷举所有的i,j组合，把$x_ix_j, 1\le{i}\le{n}, i<j\le{n}$都加到特征里面去，即使其中某些$x_i$不是one-hot特征或者某些 $x_ix_j$ 不是有用的特征，都没关系，经过大量样本的训练，模型会把那些无用的特征的系数训练为0。
$$\hat{y}=w_0+\sum_{i=1}^n{w_ix_i}+\sum_i^n{\sum_{j=i+1}^n{w_{ij}x_ix_j}}$$
这只是组合了2个特征，同样道理我们组合任意三个特征、四个特征，随着阶数的提高，样本会显得非常稀疏，而且额外引入的参数呈指数增长。
Factorization Machines
由于二次项系数$w_{ij}$，我们额外引入$\frac{n^2}{2}$个参数需要训练。有没有什么办法可以减少参数？再来观察二次项系数矩阵$W_{n\times n}$，它是对称的方阵$w_{ij}=w_{ji}$，同时它是稀疏的，因为绝大部分的组合特征都是无用的，所以其系数应该为0。可以对$W_{n\times n}$进行矩阵分解$W_{n\times n}=V_{n\times k}V_{n\times k}^T$，即$w_{i,j}=<v_i,v_j>$。其中$k\ll n$，本来需要训练的$n\times n$个参数，现在只需要训练$n\times k$个。
$$\hat{y}=w_0+\sum_{i=1}^n{w_ix_i}+\sum_i^n{\sum_{j=i+1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}$$
$$<v_i,v_j>=\sum_{f=1}^k{v_{if}v_{jf}}$$
根据$x$计算$\hat{y}$的时间复杂度是$O(kn^2)$
$\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}$构成一个完整的对称矩阵，$\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}$是这个对称矩阵的上三角部分（不包含对角线）,所以$\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}$等于 $\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}$减去对角线再除以2。
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}} \\
= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{<v_i,v_i>x_ix_i}\\
= \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{\sum_{f=1}^k{v_{if}v_{jf}x_ix_j}}}-\sum_{i=1}^n{\sum_{f=1}^k{v_{if}v_{if}x_ix_i}}\right) \\
= \frac{1}{2}\left(\sum_{f=1}^k{\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}}}-\sum_{i=1}^n{\sum_{f=1}^k{v_{if}v_{if}x_ix_i}}\right)
\end{equation}
因为$\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i}$跟$j$没有关系，$\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}$跟$i$没有关系，所以
$$\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}}=\left(\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i}\right)\left(\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}\right)$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{<v_i,v_j>x_ix_j}}\\
= \frac{1}{2}\left(\sum_{f=1}^k{\left(\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i}\right)\left(\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}\right)}-\sum_{i=1}^n{\sum_{f=1}^k{v_{if}v_{if}x_ix_i}}\right)\\
= \frac{1}{2}\sum_{f=1}^k\left(\left(\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i}\right)\left(\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}\right)-\sum_{i=1}^n{v_{if}^2x_i^2}\right)\\
= \frac{1}{2}\sum_{f=1}^k\left(\left(\sum_{i=1}^n{v_{if}x_i}\right)^2-\sum_{i=1}^n{v_{if}^2x_i^2}\right)
\end{equation}
如此一来根据$x$求$\hat{y}$的时间复杂度就降为$O(kn)$。
用梯度下降法进行训练时需要求$\hat{y}$对各个参数的偏导数：
$$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{w_0}}=1$$
$$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{w_i}}=x_i$$
$$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{if}}}=x_i\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}-v_{if}x_i^2$$
在根据$x$计算$\hat{y}$的时候$\sum_{j=1}^n{v_{jf}x_j}$已经算好了，所以求$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{if}}}$的时间复杂度为O(1)，对所有参数求偏导的总的时间复杂度为$O(kn)$
代码实现
实际当中我们很少会直接用线性拟合来做预测，通常会再套一层sigmoid函数。
尽量避免使用for循环，尽量使用numpy的矩阵运算，因为numpy的矩阵运算做了并行处理。
# coding=utf-8 __author__ = 'orisun' import numpy as np np.random.seed(0) import random def sigmoid(z): return 1.0 / (1.0 + np.exp(-z)) def sigmoid_prime(z): """ sigmoid函数对z求一阶偏导 :param z: :return: """ return sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z)) class QuadraticCost(object): @staticmethod def fn(a, y): """ 平方误差损失函数 :param a: 预测值 :param y: 真实值 :return: """ return 0.5 * np.linalg.norm(a - y) ** 2 @staticmethod def delta(z, a, y): """ 损失函数对z求偏导 :param z: x的线性函数 :param a: :param y: :return: """ return (a - y) * sigmoid_prime(z) class FM(object): def __init__(self, train, valid, k, eta, maxecho, r2, cost=QuadraticCost): """ 构造函数 :param train: 训练数据 :param valid: 验证数据 :param k: 矩阵V的第2维 :param eta: 固定学习率 :param maxecho: 最多迭代次数 :param r2: R2小于该值后可停止迭代 :param cost: 损失函数 """ self.train_x = train[:, :-1] self.train_y = train[:, -1:] self.valid_x = valid[:, :-1] self.valid_y = valid[:, -1:] self.var_y = np.var(self.valid_y) # y的方差，在每轮迭代后计算R2时要用到 self.k = k self.eta = float(eta) self.maxecho = maxecho self.r2 = r2 self.cost = cost # 用正态分布随机初始化参数W和V self.w0 = np.random.randn() self.w = np.random.randn(1, self.train_x.shape[1]) self.v = np.random.randn(self.train_x.shape[1], self.k) def shuffle_data(self): """ 每轮训练之前都随机打乱样本顺序 :return: """ ids = range(len(self.train_x)) random.shuffle(ids) self.train_x = self.train_x[ids] self.train_y = self.train_y[ids] def predict(self, x): """ 根据x求y :param x: :return: """ z = self.w0 + np.dot(self.w, x.T).T + np.longlong( np.sum((np.dot(x, self.v) ** 2 - np.dot(x ** 2, self.v ** 2)), axis=1).reshape(len(x), 1)) / 2.0 return z, sigmoid(z) def evaluate(self): """ 在验证集上计算R2 :return: """ _, y_hat = self.predict(self.valid_x) mse = np.sum((y_hat - self.valid_y) ** 2) / len(self.valid_y) r2 = 1.0 - mse / self.var_y print "r2={}".format(r2) return r2 def update_mini_batch(self, x, y, eta): """ 平方误差作为损失函数，梯度下降法更新参数 :param x: :param y: :param eta: 学习率 :return: """ batch = len(x) step = eta / batch z, y_hat = self.predict(x) y_diff = self.cost.delta(z, y_hat, y) self.w0 -= step * np.sum(y_diff) self.w -= step * np.dot(y_diff.T, x) delta_v = np.zeros(self.v.shape) for i in xrange(batch): xi = x[i:i + 1, :] # mini_batch中的第i个样本。为保持shape不变，注意这里不能用x[i] delta_v += (np.outer(xi, np.dot(xi, self.v)) - xi.T ** 2 * self.v) * (y_diff[i]) self.v -= step * delta_v def train(self, mini_batch=100): """ 采用批量梯度下降法训练模型 :param mini_batch: :return: """ for itr in xrange(self.maxecho): print "iteration={}".format(itr) self.shuffle_data() n = len(self.train_x) for b in xrange(0, n, mini_batch): x = self.train_x[b:b + mini_batch] y = self.train_y[b:b + mini_batch] learn_rate = np.exp(-itr) * self.eta # 学习率指数递减 self.update_mini_batch(x, y, learn_rate) if self.evaluate() > self.r2: break def fake_data(sample, dim, k): """ 构造假数据 :param sample: :param dim: :param k: :return: """ w0 = np.random.randn() w = np.random.randn(1, dim) v = np.random.randn(dim, k) x = np.random.randn(sample, dim) z = w0 + np.dot(w, x.T).T + np.longlong( np.sum((np.dot(x, v) ** 2 - np.dot(x ** 2, v ** 2)), axis=1).reshape(len(x), 1)) / 2.0 y = sigmoid(z) data = np.concatenate((x, y), axis=1) return z, data if __name__ == "__main__": dim = 9 # 特征的维度 k = dim / 3 sample = 100 z, data = fake_data(sample, dim, k) train_size = int(0.7 * sample) valid_size = int(0.2 * sample) train = data[:train_size] # 训练集 valid = data[train_size:train_size + valid_size] # 验证集 test = data[train_size + valid_size:] # 测试集 test_z = z[train_size + valid_size:] eta = 0.01 # 初始学习率 maxecho = 200 r2 = 0.9 # 拟合系数r2的最小值 fm = FM(train, valid, k, eta, maxecho, r2) fm.train(mini_batch=50) test_x = test[:, :-1] test_y = test[:, -1:] print 'z=', test_z print "y=", test_y z_hat, y_hat = fm.predict(test_x) print "z_hat=", z_hat print "y_hat=", y_hat
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