卡兰特数对出栈序列的解法

卡特兰数又称卡塔兰数，

英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 

 

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式^[1]：

 

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)    (n>=2)

 

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

 

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

 

另类递推式^[2]：

 

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

 

递推关系的解为：

 

h(n)=C(2n,n)/(n+1)         (n=0,1,2,...)

 

递推关系的另类解为：

 

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)       (n=0,1,2,...)

 

 

    出栈次序问题

  问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

 

 

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中出栈的序数最大的是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n

首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。

最后，令f（0）=1，f（1）=1。

 

代数证明：

设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）

不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。

不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。

不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。

此 后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个1和n+1个0组成的一个排列。

反过来，任何一个 由n+1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

用上述方法建立了由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。

 

例如 10100101

 

是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。

 

反过来 10100010

 

对应于 10100101

 

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有

 

P2n = C（n 2n）— C（n+1 2n）

 

这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan

图形化证明：http://blog.163.com/wangenze_black@126/blog/static/110710515200962110481040/

 

HDOJ 2067

#include<stdio.h>
__int64 a[36];
int main()
{
    int n,t=1,i,j;
    a[0]=a[1]=1;
    __int64 tmp=0;
    for(i=2;i<=35;i++)
    {
        tmp=0;
        for(j=0;j<i;j++)
            tmp+=a[j]*a[i-j-1];
        a[i]=tmp;
    }
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=-1)
    {
        printf("%d %d %I64d\n",t++,n,2*a[n]);
    }
    return 0;
}