单调队列

1.[POJ1821]Fence

\[f[i][j]=max_{j-L[i]\leq k\leq S[i]-1}\{f[i-1][k]+P[i]*(j-k)\} \]

变形一下$$f[i][j]=P[i]j+max_{j-L[i]\leq k\leq S[i]-1}{f[i-1][k]+P[i]k}$$
当\(k_1 < k_2\)且\(f[i-1][k_1]+P[i]*k_1 \leq f[i-1][k_2]+P[i]*k_2\) 时，显然\(k_2\)比\(k_1\)更优且取到\(k_1\)时一定取得到\(k_2\)，所以可以用单调队列优化，时间复杂度\(O(NM)\)

#define val(x, now, i) f[i-1][x]-P[now]*x
bool cmp(int x, int y) {return S[x] < S[y];}
void solve(){
	n=read(), m=read();
	for(int i=1; i <= m; i++) L[i]=read(), P[i]=read(), S[i]=read(), pk[i]=i;
	sort(pk+1, pk+1+m, cmp);
	for(int i=1; i <= m; i++){
		l=1, r=0; int now=pk[i];
		for(int j=max(S[now]-L[now], 0); j < S[now]; j++){
			while(l <= r && val(q[r], now, i) <= val(j, now, i)) r--;
			q[++r]=j;
		}
		for(int j=1; j <= n; j++){
			f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
			if(j >= S[now]){
				while(l <= r && q[l] < j-L[now]) l++;
				if(l <= r) f[i][j]=max(f[i][j], val(q[l], now, i)+P[now]*j);
			}
		}
	}
	printf("%d", f[m][n]); 
}

2.*[POJ3017]Cut the Sequence

3.[BZOJ1233][Usaco2009Open]干草堆tower

4.[SCOI2010]股票交易（我居然自己推出来了一个\(DP\),旋转开心）（转移方程打不出来，放弃了）

int q[Maxn], l, r;
void solve(){
		n=read(), mp=read(), W=read();
		for(int i=1; i <= n; i++) ap[i]=read(), bp[i]=read(), as[i]=read(), bs[i]=read();
		memset(f, -inf, sizeof(f)); f[0][0]=0;
		for(int i=1; i <= n; i++){
			l=1, r=0; int pre=max(0, i-W-1); q[++r]=0; f[i][0]=f[i-1][0];
			for(int j=1; j <= mp; j++){
				f[i][j]=f[i-1][j]; if(j <= as[i]) f[i][j]=max(f[i][j], f[pre][0]-ap[i]*j*1ll);
				while(l <= r && q[l]+as[i] < j) l++;
				if(l <= r) f[i][j]=max(f[i][j], f[pre][q[l]]+(q[l]-j)*ap[i]);
				while(l <= r && f[pre][q[r]]+ap[i]*q[r] <= f[pre][j]+ap[i]*j) r--;
				q[++r]=j;
			} l=1, r=0;
			for(int j=mp; ~j; j--){
				while(l <= r && q[l]-bs[i] > j) l++;
				if(l <= r) f[i][j]=max(f[i][j], f[pre][q[l]]+(q[l]-j)*bp[i]);
				while(l <= r && f[pre][q[r]]+bp[i]*q[r] <= f[pre][j]+bp[i]*j) r--;
				q[++r]=j;
			}
		}
		ll ans=0; for(int i=0; i <= mp; i++) ans=max(f[n][i], ans); printf("%lld", ans);
}

5.[HDU2870]Largest Submatrix

6.[NOIP2017普及]跳房子
（这题放普及组难了点， 二分+单调队列）

\[f[i]=max_{x[i]-mx\le x[k]\le x[i]-mn}\{f[k]\}+s[i] \]

重点在于进队的时间

bool check(int mid){
		ll ans=0; int l=1, r=0, now=0, mx=d+mid, mn=max(1, d-mid); 
		memset(f, -inf, sizeof(f)); f[0]=0;
		for(int i=1; i <= n; i++){
			while(x[i]-x[now] >= mn) {while(l <= r && f[q[r]] <= f[now]) r--; q[++r]=now++;}
			while(l <= r && x[q[l]]+mx < x[i]) l++;
			if(l <= r) f[i]=max(f[q[l]]+val[i], f[i]); if(f[i] >= k) return 1;
		}
		return 0; 
}

7.[[NOI2005]瑰丽华尔兹] (https://www.luogu.org/problemnew/show/P2254)

\[dp[i][x][y]=max_{|tx-x|+|ty-y| \le T}\{dp[i-1][tx][ty]+|tx-x|+|ty-y|\} \]

分四种情况后就非常好讨论单调性了（绝对值全去掉了）

int q[Maxn], pos[Maxn], l, r;
void push(int now, int pre){
		if(pre == -inf) return ;
		while(pre-now >= q[r] && l <= r) r--;
		q[++r]=pre-now; pos[r]=now;
}
void cal(int kd, int x, int y, int d, int T){
		l=1, r=0; int now=1;
		while(x <= n && y <= m && x >= 1 && y >= 1){
			if(map[x][y] == 'x') l=1, r=0; else push(now, f[kd-1][x][y]);
			while(l <= r && now-pos[l] > T) l++;
			if(l <= r) f[kd][x][y]=q[l]+now; else f[kd][x][y]=-inf;
			ans=max(ans, f[kd][x][y]); x+=nx[d], y+=ny[d]; now++;
		}
}