数学模型

Catalan

卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

• [AHOI2012]树屋阶梯
• [luogu1976]鸡蛋饼
• [SCOI2010]生成字符串

Stirling

斯特林数

容斥

容斥原理（翻译）

• [UVA10325]The Lottery(状压+容斥)
• [UVA11806]Cheerleaders
• [SP4191]MSKYCODE - Sky Code
• [CQOI2015]选数(容斥+递推)
• [SCOI2010]幸运数字

莫比乌斯反演与筛法

\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)$$ $$f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})} \]

blogs:

1. 莫比乌斯反演入门
2. 【算法】 莫比乌斯反演 -boshi
3. 我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"
4. 浅谈一类积性函数的前缀和
5. 莫比乌斯反演总结
6. 常见积性函数的筛法

题目:

• [HDU1695]GCD + [HAOI2011]Problem b + [POI2007]ZAP-Queries
  三倍经验
• [SDOI2015]约数个数和
• [luogu1829]Crash的数字表格
• [luogu2257]YY的GCD
• [51nod]莫比乌斯函数之和
• [BZOJ4805]欧拉函数求和
• [SP4168]SQFREE - Square-free integers
• [BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数
• [SDOI2014]数表（莫比乌斯反演+树状数组）
• [luogu3768]简单的数学题
• [BZOJ3309]DZY Loves Math
• P4240 毒瘤之神的考验(真的毒瘤的预处理啊orz)
• [NOI2016]循环之美
• [SDOI2017]数字表格（关于幂的莫比乌斯反演orz）

二项式反演

\[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k) \]

\[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k) \]

莫比乌斯函数、二项式、斯特林数以及它们的反演

• [BZOJ3622]已经没有什么好害怕的了

中国剩余定理

中国剩余定理与扩展 Lucas定理与扩展 学习笔记

• [codevs3990]中国余数定理 2

\[\begin{Bmatrix} x \equiv c_1 (mod\; m_1)\\ x \equiv c_2 (mod\; m_2)\\ \cdots\\ x \equiv c_n (mod\; m_n) \end{Bmatrix} \]

其中\((m_i, m_j)==1, i\not= j\)
令\(M=\prod_{i=1}^nm_i\)，
则\(x=(\sum_{i=1}^nc_i*\frac{M}{m_i}*inv(\frac{M}{m_i}, m_i))mod\;M\)

• [POJ2891]Strange Way to Express Integers

\[\begin{Bmatrix} x \equiv c_1 (mod\; m_1)\\ x \equiv c_2 (mod\; m_2)\\ \cdots\\ x \equiv c_n (mod\; m_n) \end{Bmatrix} \]

对于两个方程

\[x \equiv c_1 (mod\; m_1)\\ x \equiv c_2 (mod\; m_2)\]

合并为一个，有解条件为\((m_1, m_2)|(c_2-c_1)\)

\[d=(m_1, m_2), m=\frac{m_1m_2}{d}\\ c=(inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d})*\frac{c_2-c_1}{d})\% (\frac{m_2}{d})*m_1+c_1\]

最终\(x=c\%m\)

• [luogu4720]【模板】扩展卢卡斯
  求\(C_n^m%p\)
  唯一分解\(p=\prod_{i=1}^qp_i^{k_i}\)

\[\begin{Bmatrix} x \equiv C_n^m \%p_1^{k_1} (mod\; p_1^{k_1})\\ x \equiv C_n^m \%p_2^{k_2} (mod\; p_2^{k_2})\\ \cdots\\ x \equiv C_n^m \%p_q^{k_q} (mod\; p_q^{k_q}) \end{Bmatrix} \]

则\(x\)即为答案

公式:

1. \[g(n)=\sum_{d|n}f(d)$$ $$f(n)=\sum_{d|n}{\mu(d)g(\frac{n}{d})} \]

2. \[f(n)=\sum_{k=p}^n (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})g(k) \]

\[g(n)=\sum_{k=p}^n(-1)^{n-k}(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})f(k) \]

2. \[g(n)=\sum_{n|d}{f(d)[d \leq m]}$$ $$f(n)=\sum_{n|d}{\mu(\frac{d}{n})g(d)[d \leq m]} \]

3. 如果\(f(n)\)是积性函数，且\((x, y) = 1\)，则有$$f(xy)=f(x)f(y)$$

4. \[\sum_{i=1}^{n}{i[(i, n) == 1]}= \frac{\varphi(n)*n}2 \]

(用到结论:\(if (i, n) == 1, then (n-i, n) = 1\))
4. $$(id*\mu)(i)=\varphi(i)$$

\[(\varphi*I)(i)=id(i) \]

\[(\mu*I)(i)=e(i) \]

5. \[[n == 1]=\sum_{d|n}{\mu(d)} \]

6. \[n=\sum_{d|n}{\varphi(d)} \]

7. \[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}ij}=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]

8. 除数函数 $$\sigma_k(n)=\sum_{d|n}{d^k}$$
   约数个数函数 $$\tau(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1$$
   约数和函数$$\sigma(n)=\sigma_1(n)=\sum_{d|n}d$$

9. \[\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2} \]

\[\sum_{i=1}^ni^2=\frac{(n+1)(2n+1)n}{6} \]

\[\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]

10. \[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)(i,j)}{\varphi((i,j))} \]

11. \[[f(x) == 1] = e(f(x))=(\mu*I)(f(x))$$（常用于引进$\mu$以进行莫比乌斯反演，如[NOI2016]循环之美） \]

12. \[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x, y) == 1] \]

13. \[\]

x \equiv c_1 (mod; m_1)\
x \equiv c_2 (mod; m_2)\
\cdots\
x \equiv c_n (mod; m_n)
\end{Bmatrix}

\[其中$(m_i, m_j)==1, i\not= j$ 令$M=\prod_{i=1}^nm_i$， 则$x=(\sum_{i=1}^nc_i*\frac{M}{m_i}*inv(\frac{M}{m_i}, m_i))mod\;M$ 15. \]

\begin{Bmatrix}
x \equiv c_1 (mod; m_1)\
x \equiv c_2 (mod; m_2)\
\cdots\
x \equiv c_n (mod; m_n)
\end{Bmatrix}

\[对于两个方程 $$x \equiv c_1 (mod\; m_1)\\ x \equiv c_2 (mod\; m_2)\]

合并为一个，有解条件为\((m_1, m_2)|(c_2-c_1)\)

\[d=(m_1, m_2), m=\frac{m_1m_2}{d}\\ c=(inv(\frac{m_1}{d}, \frac{m_2}{d})*\frac{c_2-c_1}{d})\% (\frac{m_2}{d})*m_1+c_1\]

最终\(x=c\%m\)
16. 求\(C_n^m%p\)
唯一分解\(p=\prod_{i=1}^qp_i^{k_i}\)

\[\begin{Bmatrix} x \equiv C_n^m \%p_1^{k_1} (mod\; p_1^{k_1})\\ x \equiv C_n^m \%p_2^{k_2} (mod\; p_2^{k_2})\\ \cdots\\ x \equiv C_n^m \%p_q^{k_q} (mod\; p_q^{k_q}) \end{Bmatrix} \]

则\(x\)即为答案