算法导论 系列五：高级数据结构

B树

• n节点的B树高度为O(lgn)
  • 每个节点:n[x]当前节点内关键字数，
  • n[x]个关键字本身，非降序排列；
  • leaf[x],x为叶子则为true；
  • n[x]+1个子女指针，叶节点指针域为空
  • 关键字对子树进行划分分割
  • 叶节点具有相同深度，即树高
  • 每个节点包含关键字字数有上界，即B树的最小度数t
    • 非根节点至少t-1个节点，t个子女
    • 每个节点至多2t-1关键字，内街店至多2t个节点
• n个关键字，高度为h，最小度数为t》=2的B树有：h <= lgt((n+1)/2)
• B树操作
  • 搜索操作：多路分支
    
  • 插入关键字
    • 满节点（2t-1）个关键字，按照中间关键字分裂成两个各含t-1个关键字的节点
    • 中间关键字提升到y的双亲节点
    • 插入的下降过程中每遇到一个满节点就将节点分裂，这样保证最后插入的的节点分裂时其父节点不是满节点

二项堆

• 二项树
  • 二项树B0只包含一个节点，二项树Bk由2两颗二项树Bk-1连接而成，其中一棵树根是另一棵树根的最左孩子
  • 二项树性质
    • 共有2^k个节点
    • 树高k
    • 深度i处有Cki个节点
    • 根的度数为k，根的子女从左到右编号k-1到0，子女i是子树Bi的根
  • n个节点的二项树，任意节点的最大度数lgn
• 二项堆
  • 堆中每个二项树都遵循最小堆性质
  • 对任意非负整数k，堆中之多有一颗二项树度数为k
• 创建二项堆：根表头置空
• 寻找最小关键字：在根表中寻找最小值
• 根表度数严格递增
  
• 合并两个二项堆
  
• 插入：直接插入根表中
• 抽取最小关键字：将最小关键字子树构建成一个新的二项堆，与原二项堆合并
• 减小关键字：递归向上调整至根表
• 删除关键字：将关键字降值为最小，然后抽取最小值，复杂度O(lgn)

斐波那契堆

• 结构：最小堆有序树构成，不一定是二项树
• 根表由双链表构成，且无序；min[h]指向根表中最小值
• 可合并堆操作
  • 插入节点：构建节点，插入根表，调整最小值指针
    
    
  • 寻最小节点：直接返回最小值指针
  • 合并两个斐波那契堆：合并根表，重置最小值指针
    
  • 抽取最小点：删除最小值，将其子节点加入根表，然后合并根表（度相同的根合并，保证最后度数唯一）
    
  • 减小一个关键字和删除一个节点
    
    
  • 当节点成为另一个节点的子节点后，第一次删除孩子时置mark域为true，第二次删除时，必须级练删除将节点本身从树上删除，加入到根表中
  • 删除一个节点：将节点降值为最小，然后抽取最小值点

并查集

• 合并策略：
  - 按秩合并（节点少的树根合并到节点多大的树根）
  - 路径压缩（查找路径上的每个节点都指向根节点）