CF712E Memory and Casinos

这一看就很线段树。于是我们考虑把问题转化成有结合律的信息。

下面对于一个询问 \([l,r]\) 进行讨论。

我们记 \(a_i\) 为从 \(i\to r\) 的概率。（你会发现确实存在无限循环的情况，但是我们对式子进行转化，使得可以维护）。

（默认下 \(a_0=a_l=0,a_r=a_n=n\)）而有

\[a_i=a_{i-1}(1-p_i)+a_{i+1}p_i \]

移项得

\[p_i(a_{i+1}-a_{i-1})=a_i-a_{i-1} \]

我们定义 \(a_{1\cdot\cdot n}\) 的差分 \(b_i=a_i-a_{i-1}\)。

因为 \(a_{i+1}-a_{i-1}=b_{i+1}+b_i,a_i=a_{i-1}=b_i\)。

所以

\[p_i(b_{i+1}+b_i)=b_i \]

移项，即

\[\dfrac{1-p_i}{p_i}\times b_i=b_{i+1} \]

我们设 \(v_i=\dfrac{1-p_i}{p_i}\)，这时观察到有

\[1+\boxed{\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^iv_j}=\dfrac 1{b_1} \]

所以我们用线段树维护框出部分的值就行了。

维护

\[\begin{cases}f_{l,r}=\prod_{j=l}^rv_j\\g_{l,r}=\sum_{i=l}^r\prod_{j=l}^iv_j\end{cases} \]

转移有（\(u,v\) 分别是左儿子和右儿子）

\[\begin{cases}f_i=f_uf_v\\g_i=g_u+f_ug_v\end{cases} \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5,S = N << 2;

int n,m,cc = 0;

namespace ST{
	using node = pair<double,double>; node T[S];
	
	#define f first
	#define g second
	
	#define lc (i << 1)
	#define rc (i << 1 | 1)
	#define mid ((L + R) >> 1)
	
	#define id int i,int L,int R
	
	auto mrg(const auto &cl,const auto &cr){
		return node(cl.f * cr.f,cl.g + cl.f * cr.g);
	}
	
	void build(id){
		if(L == R){
			int p,q; scanf("%d%d",&p,&q);
			double v = 1.0 * (q - p) / p;
			T[i] = node(v,v);
			return;
		}
		build(lc,L,mid);
		build(rc,mid + 1,R);
		T[i] = mrg(T[lc],T[rc]);
	}
	
	void upd(int v,id){
		if(L == R){
			int p,q; scanf("%d%d",&p,&q);
			double v = 1.0 * (q - p) / p;
			T[i] = node(v,v);
			return;
		}
		v <= mid ? upd(v,lc,L,mid) : upd(v,rc,mid + 1,R);
		T[i] = mrg(T[lc],T[rc]);
	}
	
	node qry(int l,int r,id){
		if(l <= L && R <= r) return T[i];
		if(r <= mid) return qry(l,r,lc,L,mid);
		if(l > mid) return qry(l,r,rc,mid + 1,R);
		return mrg(qry(l,r,lc,L,mid),qry(l,r,rc,mid + 1,R));
	}
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	ST::build(1,1,n);
	while(m--){
		int op; scanf("%d",&op);
		if(op == 1){
			int i; scanf("%d",&i);
			ST::upd(i,1,1,n);
		} else {
			int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
			cc = 0;
			printf("%.10f\n",1.0 / (ST::qry(l,r,1,1,n).g + 1.0));
		}
	}
	return 0;
}