Codeforces Round #725 (Div. 3) 题解(A-G)

A. Stone Game

注意\(a_i\)是互不相同的，所以可以直接得到两个极值的位置。

然后最优的方案必定是一下三种中的一种：

• 仅从左侧删除，直到删掉两个极值
• 仅从右侧删除，直到删掉两个极值
• 两边都删除，每边一删掉一个极值就停

都计算一下取最小值即为答案。

B. Friends and Candies

当且仅当\(n \nmid \sum_{i = 1}^n a_i\)时无解。

假设\(n\)人的平均为\(t\)，那么只把\(a_i > t\)的元素选出来平均即为最优方案。

C. Number of Pairs

智商不够，DS来凑。

注意到要求\(i < j\)，所以逆着处理。用一个平衡树保存已经处理过的值，然后当前元素对答案的贡献就是平衡树中\([l - a_i, r - a_i]\)内值的个数。

D. Another Problem About Dividing Numbers

\(k = 1\)时直接特判，注意\(a = b\)时的情况。

其余情况，由于只限制了\(c > 1\)，所以不妨把目标定为把\(a, b\)都变成1。

记\(x\)的质因数分解为\(x = \sum_i p_i^{e_i}\)，那么\(x\)至多只能操作\(\sum_i e_i\)次，记这个操作次数为\(f(x)\)。

现在，当且仅当\(f(a) + f(b) \ge k\)时有解。

E. Funny Substrings

第一种操作可以直接模拟。

第二种操作，\(x\)的次数等于\(a\)的次数加\(b\)的次数，再加上\(a\)的后缀与\(b\)的前缀拼凑出来的次数。

注意到目标串的长度只有\(4\)，所以对于每一个变量，维护其次数，长度小于等于\(3\)的前缀以及后缀。再维护一下变量间的加法即可。

然后就是个大模拟了。

F. Interesting Function

按十进制拆分成每一位去算贡献然后累加就可以了。

每一位的贡献就是把低位去掉之后\(r - l\)的值。

G. Gift Set

记第一种礼物搞\(x_1\)个，第二种礼物搞\(x_2\)个。

可以将题目转化为整数线性规划问题

\[max. z = x_1 + x_2 \\ s.t. \left\{ \begin{array}{ll} ax_1 + b x_2 \le R\\ bx_1 + a x_2 \le B\\ x_1, x_2 \in \mathbb{N} \end{array} \right. \]

然后用单纯形求出\(x_1, x_2\)可以不为整数时的解，猜测正解在\((x_1, x_2)\)的附近，搜索一下附近的整数点。

注意，整数线性规划是NP-Hard，在线性规划的解附近搜索并不普适。不过这个方法在这一题里还是正确的，CF讨论区里有大佬的证明.