一个简化的租赁业务模型的数学推导

1. 数学引例

• 众所周知，北京高考的难度根本无法与其他省份相比，为使本文的推导过程通俗易懂，这里引入一个(北京理科)高中数学求解数列通项公式的问题。

设\(a_0,b_0,c_0,m,r\)为常数，\(n\in\{0\}\cup{N_+}\)，满足：

\({{d_0}=a_0}={b_0}-{c_0}\);

\({a_n}=(1-\frac{n}{m})\cdot{a_0}\);

\({b_n}=(1-\frac{n}{m})\cdot{b_0}\);

\({c_{n+1}}={c_n}-{r}\cdot{d_{n}}={c_n}-{r}\cdot({b_{n}}-{c_{n}})\);

\({d_n}={b_n}-{c_n}\);

求\(\{{c_n}\}\)、\(\{{d_n}\}\)通项公式（以\(a_0,b_0,c_0,m,r\)表示）。

设\({c_{n+1}}+\lambda=\alpha\cdot({c_n}+\lambda)\)，
则\(\{c_n+\lambda\}\)为等比数列，有：

\({c_n}+\lambda=({c_1+\lambda})\cdot{\alpha}^{n-1}\)

结合\({c_{n+1}}={c_n}-{r}\cdot{(b_{n}-c_{n})}\)得：

\[\begin{aligned} {c_{n+1}}&=(1+r)\cdot{c_n}-r\cdot{b_n} \newline {c_{n+1}}&=\alpha\cdot{c_n}+(\alpha-1)\cdot{\lambda} \newline \end{aligned} \]

故有：

\[\begin{cases} \alpha=1+r \newline (\alpha-1)\cdot{\lambda}=-r\cdot{b_n} \end{cases} \]

解得：

\[\begin{cases} \alpha=1+r \newline \lambda=\frac{-r\cdot{b_n}}{\alpha-1}=-{b_n} \newline \end{cases} \]

于是有：

\[\begin{aligned} {c_n}+\lambda&=({c_1+\lambda})\cdot{\alpha}^{n-1} \newline {c_n}-{b_n}&=({c_1-b_n})\cdot{(1+r)}^{n-1} \newline 故，{c_n}&=[(1+r)\cdot{c_0}-r\cdot{b_0}-b_n]\cdot(1+r)^{n-1}+b_n \newline &=[(1+r)\cdot{c_0}-r\cdot{b_0}-{(1-\frac{n}{m})\cdot{b_0}}]\cdot(1+r)^{n-1}+(1-\frac{n}{m})\cdot{b_0} \newline &={c_0}\cdot(1+r)^{n}+{b_0}\cdot[(1-\frac{n}{m})-(1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1}] \newline &= \begin{bmatrix} c_0&b_0 \newline \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} (1+r)^{n}\newline (1-\frac{n}{m})-(1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1} \newline \end{bmatrix} \newline {d_n}&={b_n}-{c_n} \newline &=(1-\frac{n}{m})\cdot{b_0}-{c_n} \newline &= \begin{bmatrix} {c_0}&{b_0} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\newline 1-\frac{n}{m} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} c_0&b_0 \newline \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} (1+r)^{n}\newline (1-\frac{n}{m})-(1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1} \newline \end{bmatrix} \newline \newline &= \begin{bmatrix} c_0&b_0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -(1+r)^{n} \newline (1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1} \newline \end{bmatrix} \newline \end{aligned} \]

2. 简化租赁模型

2.1 假设条件

• 不考虑增值税，讨论的金额皆不含增值税；
• 没有租赁激励；
• 没有免租期；
• 没有可变租赁付款额；
• 未担保余值为0；
• 初始直接费用皆为0；
• 复原租赁资产的预计成本为0；
• 终止租赁选择权行权价格为0；
• 购买选择权行权价格不为0；
• 承租方严格按合同付款；

2.2 数学结论

设共付款/摊销m期，折现率为r；
初始确认金额皆已知，有\({ROUA}={LL}={LP}-{UFE}\)；
则作为承租方，相应会计科目各期末账面余额如下：

• 有了上述数学推导，很容易得出如下结论：

第n期	ROUA	LP	UFE	LL=LP-UFE
0	\(ROUA_0\)	\(LP_0\)	\(UFE_0\)	\(LL_0=ROUA_0\)
1	\((1-\frac{1}{m})\cdot{ROUA_0}\)	\((1-\frac{1}{m})\cdot{LP_0}\)	\({UEF_0}-{r}\cdot{LL_0}\)	\((1-\frac{1}{m})\cdot{LP_0}-{UEF_0}+{r}\cdot{LL_0}\)
2	\((1-\frac{2}{m})\cdot{ROUA_0}\)	\((1-\frac{2}{m})\cdot{LP_0}\)	\({UFE_1}-r\cdot{LL_1}\)	\(\begin{aligned}&{LP_2}-{UFE_2}\newline&=(1-\frac{2}{m})\cdot{LP_0}-({UFE_1}-r\cdot{LL_1})\end{aligned}\)
……	……	……	……
n	\((1-\frac{n}{m})\cdot{ROUA_0}\)	\((1-\frac{n}{m})\cdot{LP_0}\)	\(\begin{bmatrix}UFE_0&LP_0 \newline\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}(1+r)^{n}\newline(1-\frac{n}{m})-(1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1}\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}UFE_0&LP_0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-(1+r)^{n} \newline(1-\frac{n}{m}+r)\cdot(1+r)^{n-1}\end{bmatrix}\)

• 如遇更复杂的场景，可在此模型上拓展。