【数据结构与算法】2 - 12 KMP 算法
§2-12 KMP 算法
2-12.1 字符串匹配算法
字符串匹配是一个常见的需求，用于解决这一需求的算法就是字符串匹配算法。字符串匹配算法通常有：
- 暴力算法（Brute-Force）：也称简单匹配算法，采用穷举的方法，将主串与模式串中的字符一一比较，若每个字符对应相等，则匹配成功；否则，发生失配时，模式串指针重置回初始位置，主串指针回溯到已匹配序列的首字符位置，并在此位置上向后移动一个单位，继续上述匹配过程，直至找到子串或找不到为止；
- KMP 算法：KMP 算法是由 D. E. Knuth、J. H. Morris 和 V. R. Pratt 共同提出的一种匹配算法，由他们的名字命名。该算法较暴力算法有很大改进，避免了主串指针回溯，尽可能地利用已经掌握的信息，提高了查找效率；
实际上，还有其他的字符串匹配算法，如 BM 算法、Sunday 算法等，其效率比 KMP 算法更高。
本节内容将介绍 KMP 算法。
2-12.2 KMP 算法思想与实现
算法详细解释见
【中文字幕】Knuth–Morris–Pratt(KMP)_Pattern_Matching(Substring_search)_哔哩哔哩_bilibili
2-12.2.1 避免查找重复内容
若在一个非常长的字符串中匹配一个子串（模式串），而二者同时具有大量重复字符，使用暴力匹配算法，则会把大量时间浪费在了重复字符串的匹配，效率不高。
KMP 算法引入了针对模式串的 next 数组，用于计算每一个字符处的最大公共前后缀，获得重复字符串的信息。
换一种说法，next 数组记录的，就是既为前缀，同时也为后缀的最大字串长度。
以模式串 abcaby 为例，创建 next 数组，数组长度与模式串长度相等，然后依次遍历，计算最大公共前后缀长度。
下图演示了 next 数组的建立过程：
简而言之：建立 next 数组时，需要始终寻找在当前字符（含当前字符）之前，同时是前缀，又是后缀（重复出现）的最长子串。
算法实现：
创建并返回next 数组：
private static int[] getNext(String pattern) {
// 建立next数组，长度同模式串长度，用于记录每一个字符所对应出现的最大公共前后缀长度
// 该数组的信息可用于避免再次查找、匹配已经满足匹配的重复字符
// 应当保证记录的是最大公共前后缀长度
// 首字符处不存在最大公共前后缀，因此为零，无需变动
int[] next = new int[pattern.length()];
// 使用双指针，计算每一个字符所对应的最大公共前后缀长度
// i 从第二个字符开始，j 从首字符开始，计算过程实际上就是判断二者所对应的字符是否相同
for (int i = 1, j = 0; i < next.length; ) {
// 若双指针遇到相同字符，则说明遇到一个公共前后缀
if (pattern.charAt(i) == pattern.charAt(j)) {
// i 处字符具有公共前后缀，长度为 j + 1
next[i] = j + 1;
// 递增双指针，计算、匹配下一字符
i++;
j++;
} else {
// 若字符不同，则不存在包含 i 处字符的最大公共前后缀
// 这时，是否存在一个由 i 处字符和前面部分字符所组成的另外一个最大公共前后缀？
// 若 j 不在首字符处，则说明目前为止，i 字符处前 j 个字符是重复的，重新定位 j
if (j != 0)
// 利用 j 前一索引处的数据，移动 j 指针
j = next[j - 1];
else {
// 若 j 位于首字符处，则在 i 字符处找不到最大公共前后缀
next[i] = 0;
// 移动 i 指针，计算下一字符
i++;
}
}
}
// 返回该数组
return next;
}
建立 next 数组的时间复杂度为 \(O(n)\)，空间复杂度为 \(O(n)\)。
2-12.2.2 利用 next 数组在主串中匹配
在主串中查找、匹配模式串的过程与计算生成 next 数组的方法十分类似。
安排双指针，其中一个位于主串，另一个位于模式串。为了避免重复查找，主串中的指针从不回溯，当指针指向的字符相同时，双指针同时递增；否则，则先检查模式串指针的位置。若模式串指针位于串首，则当前字符串完全不匹配，只需要递增主串中指针，继续比较即可；若模式串指针在串中，则调取其在 next 数组中对应的前一索引处最大公共前后缀长度 l，并将模式串指针移动到 l 索引处，继续比较。
重复上述过程，直到模式串指针越界（位于最大索引 + 1 处）时，表明已经找到该子串，返回该子串在主串中的起始索引即可；若主串指针越界（位于最大索引+ 1 处）时，表明不存在该子串，返回 -1 即可。
代码实现：
public static int KMPSearch(String original, String pattern) {
// 判断主串和模式串是否为空
if (original == null || pattern == null)
return -1;
// 计算 next 数组，获得最大公共前后缀信息
int[] next = getNext(pattern);
// 在主串中线性查找（i），在匹配串中匹配（j）
for (int i = 0, j = 0; i < original.length(); ) {
// 若对应字符匹配
if (original.charAt(i) == pattern.charAt(j)) {
//递增双指针
i++;
j++;
// 若匹配串指针越界，则说明已经完全匹配
if (j == pattern.length()) {
// 返回首次出现的起始索引即可
return i - pattern.length();
}
} else {
// 对应字符不匹配，主串指针不动（不回顾）
// 根据 next 数组中的最大公共前后缀移动 j 指针
if (j != 0) {
// 若 j 不在首字符处，防止越界
j = next[j - 1];
} else {
// 位于首字符处，递增 i 指针
i++;
}
}
}
// 循环体结束，未遇到返回语句，说明珠串指针 i 已越界，找不到匹配结果
return -1;
}
设主串长度为 \(m\)，模式串长度为 \(n\)，遍历主串时间复杂度 \(O(m)\)，结合建立 next 数组的时间复杂度，整个算法的时间复杂度为 \(O(m + n)\)，空间复杂度为 \(O(n)\)。
浙公网安备 33010602011771号