【数据结构与算法】2 - 5 二叉查找树、平衡二叉树与红黑树

§2-5 二叉查找树、平衡二叉树与红黑树

定义：二叉查找树，又称二叉排序树或二叉搜索树。其中任意一个结点左子树上的值都小于当前结点，任意一个结点右子树上的值都大于当前结点。

数据存储过程：小的存左边，大的存右边，一样则不存。

数据查找过程：从根结点开始，比较结点的数值。若比当前结点小，则前往左子结点；若比当前结点大，则前往右子结点；直至找到或前往空结点为止。

二叉树的遍历方式：二叉树有四种遍历方式，以下图所示的二叉查找树为例

弊端：当二叉查找树的左右子树高度不一致时，查找效率会变低，极端情况下，查找树会退化成一个链表。为解决这一问题，可使用平衡二叉树。

定义：平衡二叉树也是一种二叉查找树，但是任意结点左右子树高度差不超过 1，即任一结点的左右子树都是平衡二叉树。

平衡二叉树也称为 AVL 树，该名字源于平衡二叉树的发明者 G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis。

平衡二叉树在每次添加结点和删除结点时都需要考虑树的平衡情况，为方便起见，先介绍有关概念。

旋转机制：添加一个结点之后，该树不再是一棵平衡二叉树时，触发旋转机制，旋转最小不平衡子树。共有两种旋转方式。

在旋转前，首先要确定失衡支点：从添加的结点开始，找到距离该结点最近的，且 BF 绝对值大于 1 的根结点的子树。

若根结点右子树具有左子树，则情况复杂些，如下图所示：

平衡二叉树需要旋转的四种情况：插入新结点后，原平衡树失衡，根据新结点与形成的最小不平衡树的根结点的位置，有以下四种不同的旋转情况：

弊端：添加结点时，过于繁琐的旋转的开销较大，可以使用红黑树解决这一问题。

定义：红黑树是一种自平衡的二叉查找树。红黑树是一种特殊的二叉查找树，树上的每一个结点都有存储位表示结点的颜色。

特点：每一个结点要么为红，要么为黑；红黑树不是高度平衡的，其平衡通过红黑规则实现，其增删改查的性能表现较好。

红黑规则：

每一个结点要么为红色，要么为黑色；
根结点必须为黑色；
若一个结点无子结点或父结点，则该结点相应的指针的值为 Nil，这些 Nil 视为叶结点，每个叶结点（Nil）是黑色的；

这意味着，Nil 结点在实际上是存在的，但是其数据为空，位于叶结点中，在遍历与查找当中意义不大；
若某一结点为红色，其子结点必须为黑色（即两个红色结点不能相连）；
对每一个结点，从该结点到所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点；

后代：该结点的所有子结点称为该结点的后代；

叶结点：无子结点的结点称为叶结点；后代叶结点指的是所有为叶结点的子结点；

简单路径：不重复经过同一顶点的通路；