笔记: Manacher

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Oh how confused this konjac is! It is tring to write down some notes to help itself!

洛谷-【模板】manacher

给出一个字符串 S ,求 S 中最长回文串的长度 。

• 朴素算法是以每一个点和间隔为中点往外扫。时间复杂度 \(O(n^2)\)

• 马拉车算法 时间复杂度 \(O(n)\)

首先，构造一个字符串 \(s2\) ,将字符串 \(s1\) 的尾以及间隔处插入 #,头部插入$（防止越界）

如果s1=aaa,则s2=$a#a#a#​

这样做的效果是把所有回文串对应到了一个奇回文串上，将对接下来的操作有帮助。

设一个数组 \(p_i\) 表示第 \(i\) 个字符的回文半径。

例如 $#a#b#c#b#a#a#b#c#b#a# 其中第一个c的回文串就是#a#b#c#b#a#

回文半径就是6。

如何用 \(p_{1...i-1}\) 推出 \(p_i\) ？

设 \(mx\) 为当前最大回文串右边界， \(id\) 为当前最大回文串对称中心。

则 \(mx=id+p[id]\)

我们先求出以 \(i\)为中心的回文半径至少有多长。

• i<mx 时：

\(p_i\) 的值可以通过 \(p_j\) 转移而来，因为左右是关于id对称的。也就是说，深蓝=浅蓝，深绿=浅绿。需要注意的是，\(mx-i\) 可能会 \(<p_j\) 此时 \(p_i=mx-i\)

所以 \(p_i=min(p_{2*id-i},mx-i)\)

• i>mx 时，直接先设 \(p_i=1\)。

之后再往两遍扩展即可。求出 \(p_i\) 后要更新 \(mx\) 和 \(id\) 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=11e6+10;
int n,p[N<<1];
char s1[N],s2[N<<1];
int manacher(){
    int tot=0;
    s2[tot++]='$',s2[tot++]='#';
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s2[tot++]=s1[i],s2[tot++]='#';
    tot--;
    int mxlen=0,mx=0,id=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(i<mx) p[i]=min(p[id*2-i],mx-i);
        else p[i]=1;
        while(s2[i-p[i]]==s2[i+p[i]]) p[i]++;

        if(mx<i+p[i]) mx=i+p[i],id=i;
        mxlen=max(mxlen,p[i]-1);
    }
    return mxlen;
}
int main(){
    scanf("%s",s1+1);
    n=strlen(s1+1);
    printf("%d\n",manacher());
    return 0;
}