题解 UVA10294 【Arif in Dhaka (First Love Part 2)】

群置换。

共有两种置换，旋转和对称。

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对于旋转，旋转i颗珠子时\((0<=i<n)\)

举例1，旋转4颗珠子

1 2 3 4 5 6

5 6 1 2 3 4

1-5-3 2-6-4

2个循环，每组3个

举例2，旋转3颗

1 2 3 4 5 6

4 5 6 1 2 3

1-4 2-5 3-6

3个循环，每组2个

循环数量：\(gcd(n,i)\)

这个我证不出来/dk，所有题解都说显然，要不就是举例论证。

每个循环内部都是同一种珠子，才能保证置换后整体不变。

每个循环贡献\(t^{gcd(n,i)}\)。

\(a=\sum t^{gcd(n,i)}\)

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对于对称，分成n为奇数和偶数两种情况。

奇数：

n个，切开一个珠子，即有\((n-1)/2\)个循环节为2，1个循环节为1的。相当于有\((n+1)/2\)个循环节。

\(b=n*t^{(n+1)/2}\)

偶数：

分两种情况。

1.n/2个，切开两个珠子。同理有\((n-2)/2+2\)即\(n/2+1\)个循环节

2.n/2个，把珠子分成两半，n/2个循环节

\(b=(n/2)*(t^{n/2+1}+t^{n/2})\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,t,f[55];
LL power(LL x,LL y){
	return f[y];
}
LL xz(){
	LL ret=0;
	for(LL i=0;i<n;i++)
		ret+=power(t,__gcd(n,i));
	return ret;
}
LL dc(){
	LL ret=0; 
	if(n&1) ret+=n*power(t,(n+1)/2);
	else ret+=(n/2)*(power(t,n/2)+power(t,n/2+1));
	return ret;
}
int main(){
	while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2){
		f[0]=1;
		for(LL i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*t;
		LL a=xz(),b=dc();
		printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)/(2*n));
	}
	return 0;
}