洛谷 P1447 [NOI2010]能量采集 （莫比乌斯反演）

题意：问题可以转化成求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(2*gcd(i,j)-1)$

将2和-1提出来可以得到：$2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$

令Ans=$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$

=$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$

=$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(i){\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{id}\rfloor}$

枚举id，Ans=$\sum_{T=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor}\sum_{d|T}\mu(d)\frac{T}{d}$

后面这个求和正好是狄利克雷卷积形式，更巧的是$\mu*id=\varphi$。

Ans=$\sum_{T=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor}\varphi (T)$

输出2*Ans-n*m即可。

预处理欧拉函数前缀和，另一部分整除分块。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
bool p[N];
int pri[N],phi[N],tot;
ll pre[N];
void init() {
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!p[i]) pri[tot++]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=0;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {
            p[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) pre[i]=pre[i-1]+phi[i];
}
int main() {
    init();
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans+=1LL*(pre[r]-pre[l-1])*(n/l)*(m/l);
    }
    printf("%lld\n",2*ans-1LL*n*m);
    return 0;
}