欧拉回路---知识点详解

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的

有向图的基图:忽略有向图所有边的方向,得到的无向图称为该有向图的基图。 

无向图

  设G是连通无向图,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路

 如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个顶点),则称此回路是欧拉回路

  具有欧拉回路的无向图G成为欧拉图

有向图

(1)设D是有向图,D的基图连通,则称经过D的每条边一次并且仅有一次的有向路径为 有向欧拉通路

(2)如果有向欧拉通路是有向回路,则称此有向回路为  有向欧拉回路

(3)具有有向欧拉回路的图D称为有向欧拉图

定理

 无向图G存在欧拉通路的充要条件是:G为连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的顶点)或者无奇度结点。

推论

(1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时,G的欧拉通路必以此两个结点为端点;

(2)当G是无奇度结点的连通图时,G必有欧拉回路

(3)G为欧拉图(存在欧拉回路)的充分必要条件是  G为无奇度结点的连通图

 

(有向图) 定理

有向图D存在欧拉通路的充要条件是:D为有向图,D的基图连通,并且所有顶点的出度与入度相等;或者  除两个顶点外,其余顶点的出度与入度都相等,而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1,另一个顶点的出度与入度之差为-1.

推论

(1)当D除出、入度之差为1,-1的两个顶点之外,其余顶点的出度与入度相等时,D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点,以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

(2)当D的所有顶点的出、入度都相等时,D中存在有向欧拉回路。

(3)有向图D为有向欧拉图的充要条件是  D的基图为连通图,并且所有顶点的出、入度都相等。

 

 

欧拉回路的求解

两种方法:(1)DFS搜索  (Fleury)佛罗莱算法

(1)DFS搜索 思想求解欧拉回路的思路为:利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后,选择一个正确的起始顶点,用DFS算法遍历所有的边(每条边只遍历一次),遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

(2) (Fleury)佛罗莱算法

设G为一个无向欧拉图,求G中一条欧拉回路的算法如下:

(1) 任取G中一顶点v0,令P0=v0;

(2)假设沿Pi=v0e1v1e2v2......eivi走到顶点vi,按下面方法从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选ei+1。

        ei+1与vi相关联

        除非无别的边可供选择,否则ei+1不应该是Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥。

(3)当(2)不能再进行时算法停止。

        可以证明的是,当算法停止时,所得到的简单回路Pm=v0e1v1e2v2......emvm,(vm=v0)为G中一条欧拉回路。

 

备注知识:

  设无向图G(V,E)为连通图,若边集E1属于E,在图G中删除E1中所有的边后得到的子图是不连通的,而删除了E1的任一真子集后得到的子图是连通图,则称E1是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集,则称该边为割边,或

          

 

//欧拉路径的输出(此图为无向图)
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 200
struct stack
{
	int top,node[M];
}s;             //顶点的栈结构
int Edge[M][M]; //邻接矩阵
int n;          //顶点个数

void dfs(int x)   //这里的深度优先跟标准版有所区别,即不需要回溯
{
	s.top++;
	s.node[s.top]=x;   //将即将要扩展的结点压入栈中
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(Edge[i][x]) //如果该节点还存在边
		{
			Edge[i][x]=0;  
			Edge[x][i]=0;  //删除该边,然后搜索另一结点
			dfs(i);
			break;
		}
	}
}

void Fleury(int x)    //对头节点使用Fleury算法 查找欧拉路径
{
	s.top=0;
	s.node[s.top]=x;
	while(s.top>=0)
	{
		int flag=0;  //记录当前结点是否有边可以扩展
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(Edge[i][s.top])
			{
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(!flag)
		{
			cout<<s.node[s.top]+1<<" "; //记录时是从0--n-1,所以应该加1
			s.top--;                    //结点输出了,此结点出栈
		}
		else
		{
			s.top--;              //因为dfs处理时,需要先进栈,所以这里要先出栈,然后再进栈
			dfs(s.node[s.top+1]); //处理那个结点
		}
	}
	cout<<endl;
}

int main()
{
	int m,s,t;            //边数,读入的边的起点和终点
	int degree,num,start; //每个顶点的度、基度顶点个数、欧拉回路的起点
	cin>>n>>m;            //n---顶点数  m---边数
	memset(Edge,0,sizeof(Edge));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>s>>t;
		Edge[s-1][t-1]=1;
        Edge[t-1][s-1]=1;
	}
	num=0;
	start=0;   //如果存在奇度顶点,则从奇度顶点出发,否则从顶点0出发
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		degree=0;
		for(int j=0;j<n;j++)
			degree+=Edge[i][j];
		if(degree%2) 
		{
			num++;
			start=i;
		}
	}
	if(num==0||num==2) Fleury(start);
	else cout<<"No Euler path"<<endl;
	return 0;
}

  

posted @ 2014-05-13 16:35  zhoudan  阅读(12461)  评论(2编辑  收藏  举报