Basic_Cap2.简单拍卖机制介绍

Cap2.简单拍卖机制介绍

1. 主要内容提要
  a.介绍,引言
  b.Second-Price-Sealed-Bid(SPSB)mechanism(Vickrey Auction)
  c.Vickrey-Clarke-Grovesmechanism(VCG)
  d.Lehmann-Ocallaghan-Shoham(LOS)Mechanism(Vickrey-like)

2. SPSB mechanism(Vickery Auction)
  a. 什么是Sealed-Bid Auction：
    1. 投标封闭，互相不知道别的Buyer的标价。且写完放入信封后不可以在改动。所以效率很高。
    2. Seald-Bid Auction是一种近些年auction的论文主要研究的类型。

  b. SPSB mechanism:
    1.模型：每个人对一个商品提交信封，信封里有个不可更改的标。
    2.分配规则：高价者得标
    3.支付规则：支付第二高价格
    4.Objective: ★Social welfare maximization.
    5.individual rationality:如果每个buyer都behave truthfully， 每个buyer的utility all ≥ 0
    6.incentive compatiability:保证激励兼容
    i.e. it is a dominant strategy for every buyer to bid by revealing its value.

  c. 求最优化Objective中的公式：
    1. 需要求的参数x,p（没懂，社会福利最大化，为什么求得是revenue的最大？？？）:

    2-1. 约束1：中标的人只有且仅有1位。

    2-2. 约束2：任意的约束者只有两种可能，中或者不中。

    2-3. 约束3（应该不算约束）：计算每个buyer的Ui=value-bid。

    2-4. 约束4（这个是约束还是结论？）：当bid=value时，此时的社会效益utility必定大于等于不满足bid=value。

    2-5.在bi=vi情况下，社会效益utility必定大于等于0:

  d. SPSB的结果：
    1. 结果1：xi(即到底谁中标):

    2. 结果2：中标者该支付的价格。

    3.特殊情况。

3. VCG mechanism

  a.SPSB存在的问题：
    1. has just one item to sell
    2. 如果有多个商品组成集合S需要售卖怎么处理？解答：如果每个商品的售卖可以看成独立的，那么可以用多次SPSB来进行售卖。
    3. 如果每个buyer是single-minded，即如果要么买下他们想要商品的集合，要么什么都不买。则VCG mechansim就有效。

  b.VCG的基础要求：
    1. seller希望卖掉一个商品集合S
    2. every buyer有一个心愿单集合Ti∈S
    3. 不同于SPSB，可能会有多个获胜者
    4. 分配决定是要确定是否要给buyer i授予捆绑心愿单Ti
    5. Winners can be charged by different payments

  c.VCG的过程：
    1. 每个buyer i为他们的心愿单Ti∈S，投标bi(Ti)，注：if behaves truthfully,b(Ti)=vi(Ti)
    2. 拍卖者决定一个最优的方案，使得maximization the bidding price from all winers(这就使得社会福利最大化)
    3. 如果计算出最优决策，{xi*}(i=1 to N),则每个buyer的pi为：

    解释：第一个式子的意思是在i不参与情况下最大化的社会福利（能够在移除buyer i最优化其余N-1个的分配得到），第二个式子的意思是在出去buyer i下，手机最优化的分配{xi*}(i=1toN)的标的总和

 
  d.VCG的性质：
    1. objective:最大化社会福利.
    2. individual rationality: every truthful buyer's utility ui is always non-negative.
    3. incentive compatibility: every buyer can maximize its own utility by bidding its true value.
    4. NP hard cannot be resolved by VCG mechanism.

4. LOS mechanism(Vickrey-like)

  a. VCG存在的问题：
    1. VCG非常依赖资源的正确分配
    2. NP hard can not be resolved
    3-1. Can we apply approximate algorithms for the resource allocation?(premise:NP-hard???)->no way!
    3-2. VCG 不兼容任何近似算法，因为支付阶段可能不符合IR和IC。
    综上，引出了LOS算法，是多项式时间的近似解

  b. LOS分配算法：
    1. 了解背景和前提 ：
        有一个拍卖者有m个相同**(identical?????)的商品售卖给N个buyer，每个buyer i有他对应的bi,vi,Ti。
    2. step1:重新做索引，使得

    3.step2: 按照重新排序后的顺序，检查buyer i的情况：如果余下的商品仍然可以满足Ti的需求，设xi=1来表示buyer i赢了，否则xi=0表示输了。

    4. LOS allocation algorithm has a √m-approximation:

 
  c. LOS支付方案设计：
    1. 思想：用类似Vickery的方法来进行收费
    2. 引入概念u-Blocks：在LOS算法中，我们假设buyer i wins，如果把buyer i除去后，buyer j wins，我们就定义buyer i u-Blocks buyer j。
    3. LOS payment scheme: 获胜者会支付他所u-Blocks的最优价值的标(a winning buyer will be charged by the 'most valuable' bid from buyers it blocks.)
    Note1: if buyer lose or wins but blocks no one, then payment is set as 0.
    Note2: 如果LOS算法被分配了心愿单Ti，假设j是Buyer i所u-Blocks的最低的索引，那么payment就是pi如下的计算公式如下：

  d. LOS的相关性质：
    1. 性质1：LOS分配对应的结果的social welfare是√m-approximation的最优social welfare.
    2. 性质2：individual rationality(IR)
    3. 性质3：incentive compatible(IC)