【反演复习计划】【COGS2431】爱蜜莉雅的求助

出题人怎么这么不认真啊==明明官方译名是爱蜜莉雅……

而且我们爱蜜莉雅碳是有英文名哒！是Emilia。你那个aimiliya我实在是无力吐槽……

不过抱图跑23333首先这很像约数个数和函数诶！
但是唯一的不同是，D(1)=1,F(1)=0.
那么如果就是D，我们怎么做？
原题意思是求以下式子：
$Ans\sum\limits_{i=1}^{n}d(gcd(i,n))$
我们知道：
$D(n)=\sum\limits_{d|n}1$
所以：
$Ans=\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}D(d)[gcd(i,\frac{n}{d}==1]$
$Ans=\sum\limits_{d|n}D(d)*\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d}==1]$
第二个求和就相当于枚举跟$\frac{n}{d}$互质的数。这不是$\phi$的定义吗？
所以：
$Ans=\sum\limits_{d|n}D(d)*\phi(\frac{n}{d})$
这是……狄利克雷卷积？
$D*\phi=1*1*\phi=id*1$
$Ans=\sum\limits_{d|n}\frac{n}{d}$
那么如果是这个呢？这个f(1)=0的话，我们相当于把1多算了$\phi(n)$次，减去就行了。
所以最后：
$Ans=\sum\limits_{d|n}\frac{n}{d}-\phi(n)$
复杂度：$O(\sqrt{n})$

 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll calcsum(ll n){
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    ll cnt=0,ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(n%i==0){
            ans+=i;if(i*i!=n)ans+=n/i;
            else break;
        }
    }
    return ans;
}
ll calcphi(ll n){
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    ll ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)if(n%i==0){
        ans=ans/i*(i-1);
        while(n%i==0)n/=i;
        if(n==1)break;
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int main(){
    freopen("aimiliyadehelp.in","r",stdin);
      freopen("aimiliyadehelp.out","w",stdout);
    cin>>n;
    cout<<calcsum(n)-calcphi(n)<<endl;
    return 0;
}