简单的分治——归并排序

　　分治是一种思想，一种解决问题的方法、手段。从理论上理解起来并不困难：就是把一个大问题分解为若干小问题，逐一解决这些小问题，而后汇总结果。分治思想来指导的算法，都会满足这样的要求：

1、如果问题能分解为子问题，并且子问题和原问题可以用同一种方法解决。当然，如果子问题还比较复杂，那么可以继续分解。

2、子问题的解可以合并为原问题的解。

　　如果不满足这些要求，那么要么是子问题划分不合理，要么只能用分支结构来解决。分支结构何尝不是一种分治思想的体现呢。所以，分治算法适合于解决那些子问题有共同解法的，解可以合并的问题，当问题规模较大时——分解为若干层次子问题时，分治是一种解决问题的重要思路。归并排序就是一个利用分治来解决问题的很好例子，对于一个数组，我们首先把它进行分解为若干段，然后对这些段进行排序，最后合并结果即可。这是基本的分治思路，那么现在考虑一下具体问题：

1、子问题的最小规模是多大？即分解到一段多少数据：最小规模就是1段1个数据，解决方法简单到无需比较就已经排序好了。那么，划分为2个可不可以？答案是不可以，因为那样做引入了（或者说没有消除）段内数据比较的问题，编码将更加复杂。当然，如果非要那样做也不是不能实现。

2、如何合并结果？第一次合并时每段只有一个元素，只需要按次序存放即可；下次合并时因为每段已经有次序，所以只需要比较两段中第一个元素，把较小的先拿出来，这样就不需要再次访问段中其他元素了。

3、如何设计程序结构？因为我们要分解和合并，所以需要若干个循环过程，从之前的分析来看，整个算法不断的重复执行分解、而后不断的进行合并，可以用循环或递归来实现。因为递归在程序编码上较简单，所以这里采取递归的结构：

void mmsort(int arr[],int leftid,int rightid){
    int mid;
    //当leftid=rightid时，划分为一段只有一个元素。否则继续划分为左右两部分。
    if(leftid<rightid){
        mid=leftid+(rightid-leftid)/2;
        mmsort(arr,leftid,mid);
        mmsort(arr,mid+1,rightid);
        //划分完毕之后进行合并。
        mmerge(arr,leftid,mid,rightid);
    }
}

程序结构非常清晰，当leftid=rightid时，此段只有一个元素达到终点——函数返回（代码中没有写入else部分，因为它没有必要写出来）；当leftid<rightid时，用二分的方法将数据继续分段。当左侧分段结束之后，对右侧进行分段，两侧分段结束之后，进行合并。接下来，需要对合并函数进行编码，这时应该考虑一些细节：

1、关于临时存储合并结果段：若我们按升序排序，现在有两段：4,5和2,7我们取出最小的2，它的位置是最左面，如果直接写回数组，则4被覆盖——消失了。这可真糟，所以归并过程中，我们需要一个临时数组保存2,4,5,7这两段合并（并排序）的结果，当这两段合一（并排序）之后，把临时数组写回。

2、关于被合并段不等长：这是一种经常出现的情况，按照我们的做法：先取两段数据中最小的（左段或右段的第一个数据，因为我们之前合并时已经对两段数据排序。），然后第二小的……总有一段取完而另一段还有数据。易知，没有取完的部分一定大于已经取完的部分，所以只需要把这些没有取到的数据直接连接到临时数组后面。

剩下的就是编码，并不难：

void mmerge(int arr[],int leftid,int mid,int rightid){
    int i;
    //将左右两个段进行合并时，直接使用原数组可能产生覆盖，所以先排序到临时数组。
    int *tmparr=new int[rightid-leftid+1];
    int tmparrcurid=0;
    int leftarrcurid=leftid;
    int rightarrcurid=mid+1;
    //进行比较，在临时数组中保存排序结果。此时左右段长度不一定相同。
    //所以需要分别处理：左右段都有元素时进行比较，将较小的存入临时数组；
    //当一段没有元素了，说明另一段剩下的元素都比现在临时数组中的大，直接连接在临时数组后面。
    while(leftarrcurid<=mid && rightarrcurid<=rightid){    //两个段都有元素时
        if(arr[leftarrcurid]>arr[rightarrcurid]){                    //把最大的存入临时数组
            tmparr[tmparrcurid]=arr[leftarrcurid];
            leftarrcurid++;
        }else{
            tmparr[tmparrcurid]=arr[rightarrcurid];
            rightarrcurid++;
        }
        tmparrcurid++;
    }
    //此时有一个段没有元素了，把另一个剩下的元素复制到tmparr中。
    for(i=leftarrcurid;i<=mid;i++){
        tmparr[tmparrcurid]=arr[i];
        tmparrcurid++;
    }
    for(i=rightarrcurid;i<=rightid;i++){
        tmparr[tmparrcurid]=arr[i];
        tmparrcurid++;
    }
    //最后，把排序好的leftid到rightid段从tmparr复制回来。
    tmparrcurid=0;
    for(i=leftid;i<=rightid;i++){
        arr[i]=tmparr[tmparrcurid];
        tmparrcurid++;
    }
    delete []tmparr;
}

虽然命名时使用了arr字样，但这个arr是虚指，并没有真的去声明一个数组实例来存储数据，根本上来讲，所指的就是把原始数组中leftid和rightid之间的部分看作一个数组。出于这个原因，在文章中我一直使用“段”这个字，而不是“数组”。另：上述代码是减序排列。

这次解决的NOI题目是：

7617:输出前k大的数
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总时间限制: 10000ms 单个测试点时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB
描述
给定一个数组，统计前k大的数并且把这k个数从大到小输出。

输入
第一行包含一个整数n，表示数组的大小。n < 100000。
第二行包含n个整数，表示数组的元素，整数之间以一个空格分开。每个整数的绝对值不超过100000000。
第三行包含一个整数k。k < n。
输出
从大到小输出前k大的数，每个数一行。
样例输入
10
4 5 6 9 8 7 1 2 3 0
5
样例输出
9
8
7
6
5

再加上main函数就是完整的解题代码了（头文件略）：

int main(){
    int arrsize,cnt,i;
    cin>>arrsize;
    int arr[arrsize];
    for(i=0;i<arrsize;i++){
        cin>>arr[i];
    }
    cin>>cnt;
    mmsort(arr,0,arrsize-1);
    for(i=0;i<cnt;i++){
        cout<<arr[i]<<endl;
    }
}