2020.10 杂题
新开一个坑...
P2647 最大收益
考虑我们已经确定了取哪些数然后要确定顺序，发现如果答案排列是 \(p_1,p_2...p_k\)，那么答案为 \(\sum_{i=1}^n(w_{p_i}-(k-i)r_{p_{i}})\)。
发现前面的和顺序无关，最后即要最小化 \(\sum_{i=1}^{n}(k-i)r_{p_{i}}\)，\(k-i\) 递减，那么 \(r\) 递增即为最小（排序不等式）。所以我们在一开始按 \(r\) 排序就和顺序无关，按从前往后的顺序取就好了。
然后就可以考虑 dp 了，记 \(f[i][j]\) 代表从前 \(i\) 个已经取了 \(j\) 个的最大值。
显然有状态转移方程：\(f[i][j]=max(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+val(i))\)，但是我们不知道后面还要取多少个数，显然可以再加一维，然后时间复杂度变为 \(O(n^3)\) 过不了。
重新设计状态，从后往前 dp，\(f[i][j]\) 代表从 \(i\) 到最后已经取了 \(j\) 个的最大值。
这里就可以这么转移了：\(f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j-1]+w_i-r_i\times (j-1))\)。
P1966 火柴排队
将式子变形为 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2+b_i^2-2a_ib_i\)，发现即让 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\) 最大即可，根据排序不等式得 \(\{a\},\{b\}\) 都有序时最大，所以现在即要通过交换相邻两元素使得对于排序的元素对应。说白了就是 \(a\) 中最大的对应 \(b\) 中最大的， \(a\) 中次大的对应 \(b\) 中次大的，一次类推。给每个数一个编号，这样同值的数也区分开来。假设 \(a\) 的排名数组是 \(ranka\)，\(b\) 的排名数组是 \(rankb\)，构造 \(work_{ranka_i}=rankb_i\)，使这个数列有序的次数即为答案。这类交换相邻两个元素的题都可用逆序对来做。
P3620 数据备份
这是近乎一道反悔贪心的模板。反悔贪心其实就是在模拟费用流的回流（退流）的过程，往往就是选当前这一步可能并不是最优，进而再加入一个不选当前这个的答案。
现在回到这道题，考虑记 \(d_i\) 为第 \(i\) 个和第 \(i-1\) 个之间的距离，那么假设我们选定一个最小的 \(d_i\)，答案加上 \(d_i\) 那么 \(i-1\) 和 \(i+1\) 就都不能选了。可是有可能选 \(i-1\) 和 \(i+1\) 更优，所以我们加入一个 \(d_{i-1}+d_{i+1}-d_i\) 的在 \(i\) 的位置上，代表选 \(i-1\) 和 \(i+1\) 但不选 \(i\)。容易证明这样选 \(k\) 次即为答案。由于需要找最小值所以需要一个堆，由于和i-1、i+1有关所以需要一个链表。
P3833 魔法树
这是一道树链剖分的模板，就不讲了。
下面的题没时间写题解了，先咕一下吧qwq
