判断矩阵可逆的一种重要方法：严格对角占优

假设有这样一个矩阵

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\  \end{bmatrix} $$

你能不能立刻说出它是不是可逆矩阵？

当然，如果你学过矩阵论，就知道这是一个（行列）严格对角占优矩阵，它一定是可逆的。

但是为什么呢？我们先来看看严格对角占优矩阵是什么样子的

定义

首先给定一个$n\times n$的方阵$A$

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} $$

把对角线上的所有元素取绝对值，构成一个$n$维向量$x$

$$ x = (|a_{11}|, |a_{22}|, ... , |a_{kk}|, ... , |a_{nn}|)^T $$

再把剩下的元素取绝对值，再按行求和，构成另一个$n$维向量$y$

$$ y = (\sum_{j\not=1}^{n}|a_{1j}|, \sum_{j\not=2}^{n}|a_{2j}|, ..., \sum_{j\not=k}^{n}|a_{kj}|, ... , \sum_{j\not=n}^{n-1}|a_{nj}|) ^T $$

如果$x$的第$i$个元素都分别不小于$y$中的第$i$个元素($1\le i \le n$)，那么矩阵$A$就是行对角占优的；

如果$x$的第$i$个元素都分别大于$y$中的第$i$个元素，那么矩阵$A$就是行严格对角占优的；

类似地，如果上面的$y$是按列求和的，那么矩阵也可以分别是列对角占优或列严格对角占优的。

要想证明这个定理，很简单，这里给出传统的反证法

证明

假设$A$不可逆，即$\det A=0$，方程$Ax=0$存在非零解，设其解为$x=(x_1, x_2, ..., x_n)^T$，那么

为了方便，我们取$x$中绝对值最大的一个，记为$|x_k|$，即

$$ |x_k| = max(|x_1|, |x_2|, ... , |x_n|) $$

将$x$代入方程$Ax=0$，在第$k$行有

$$ \sum_{j=1}^{n} a_{kj}x_{j} = 0  $$

取出等式左边求和式里的 $a_{kk}x_k$ 放到等式右边，然后两边同时取绝对值，得到

$$ \left| \sum_{j\not=k}^{n} a_{kj}x_{j} \right| = |-a_{kk} x_{k}| = |a_{kk}| \bullet |x_k| $$

根据严格对角占优矩阵的定义，我们有

$$ \begin{aligned} |a_{kk}| & > \sum_{j\not=k}^{n} |a_{kj}| \\ |a_{kk}| \bullet |x_k| & > \sum_{j\not=k}^{n} |a_{kj}| \bullet |x_k| \\ & \ge \sum_{j\not=i}^{n} |a_{kj}| |x_{j}| \\ & \ge \left| \sum_{j\not=i}^{n} a_{ij} x_{j} \right| \\ & = |a_{kk}| \bullet |x_k| \end{aligned} $$

根据前提条件得到矛盾的结果，因此假设不成立，$A$一定是可逆矩阵。