noi2010 能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】 5 4
【样例输入2】 3 4

Sample Output

【样例输出1】 36
【样例输出2】 20
【数据规模和约定】 对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

 

Source

 

[Submit][Status][Discuss]分析：对于一个点(m,n)而言，这个点和原点(0,0)连线在整点上的个数为gcd(n,m),也就是说本题让我们求所有坐标gcd的总和，如果一个一个算会很耗时间，既然要求gcd,那么我们可以先求出公因数，可以知道最大的gcd就是min(n,m),所以算出来的公因数一定是几个坐标的gcd,所以我们用(n/i) * (m/i)求出因数为i的数的个数，这样会重复计算2i,3i4i......的个数，根据容斥原理减去这些个数就行，然后就能做出来了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

long long f[100010];
long long n, m;

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    long long sum = 0;
    for (int i = min(n, m); i >= 1; i--)
    {
        f[i] = (n / i) * (m / i);
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            f[i] -= f[j];
        sum += f[i] * (i + i + 1);
        //printf("%d\n",f[i]);
    }
    printf("%lld", sum);

    return 0;
}