在读这篇文章之前，请确保已经完全明白二进制基础以及其他与本文相关的二进制的知识

  • 首先，假设我们要求3^{101}，设a=3，b=101
  • 将b转化为二进制表示，则为：1100101
  • 通过二进制基础，我们知道：b=2^{0}+2^{2}+2^{5}+2^{6}=101，101=2^{0}+2^{2}+2^{5}+2^{6}
  • 通过乘法原理，我们知道：3^{c}*3^{d}=3^{c+d}，3^{c+d}=3^{c}*3^{d}
  • 因此，可以推出：3^{101}=3^{2^{0}}*3^{2^{2}}*3^{2^{5}}*3^{2^{6}}=3^{1}*3^{4}*3^{32}*3^{64}=3^{101}
  • 那么，我们想象一下：如果计算2^{x}（设x为任意数）的时间复杂度为O(1)，则计算3^{101}的时间复杂度就成为了O(6)，也就是O({log_{2}}^{101})
  • 也就是说，计算p^{n}的时间复杂度也就成为了O({log_{2}}^{n})

那么，接下来的问题就是：怎么将计算2^{x}的时间复杂度降为O(1).

我们的思路是：首先，我们回避掉直接计算2^{x}这个问题。因为在对一个数g进行右移的过程中，假设每次右移一位，则一共需要右移{log_{2}}^{g}次（如果不熟悉这里可以自己手写验证一下）.那么，在将在指数右移的过程中加上递推即可完成快速幂的运算。

理论部分完毕，下面是具体实现。

const int MOD=1e9+7;
ll poww(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans*a%MOD)%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

因为乘法的时间复杂度是O(1)，所以快速幂的时间复杂度O(logN)成立