异或约数和 [异或相关]

$异或约数和$

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$\color{blue}{最初想法}$

$[1, x]$ 内含有 $x$ 这个约数的数个数为 $cnt = \lfloor \frac{ N } { x } \rfloor$,
当 $cnt$ 为偶数时, 贡献为 $0$, 当 $cnt$ 为奇数时, 对整体答案贡献为 异或$x$,
枚举$x∈[1,N]$ 直接计算贡献, 复杂度 $O(N)$ .
用 整除分块 加上类似 这里 的方法可以优化到 $O(\sqrt{N}logN)$, 但是仍然不能 $AC$.

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$\color{red}{正解部分}$

有一个规律, 设 $g(x)$ 为 $[1,x]$ 内的异或和, 则

$g(x)= \begin{cases} 0\ \ \ \ 奇数\\ x\ \ \ else \end{cases} +\begin{cases} 1 \ \ \ \ \lceil \frac{N}{2}\rceil为奇数 \\ 0 \ \ \ \ else\end{cases}$

于是前面需要 $O(logN)$ 计算的只需要 $O(1)$ 了, 总体复杂度 $O(\sqrt{N})$ , 可以 $AC$ .

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$\color{red}{实现部分}$

没什么好说的 …

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

ll N;
ll Ans;

ll Sum(ll x){
        if(!x) return 0;
        ll s_1, s_2;
        if(x & 1) s_1 = 0;
        else s_1 = x;
        ll tmp = (N-1)/x + 1;
        if(tmp & 1) s_2 = 1;
        else s_2 = 0;
        return s_1 + s_2;
}

int main(){
	scanf("%lld", &N);
	for(reg ll l = 1, r; l <= N; l = r+1){
		r = N/(N/l);
		if((N/l & 1) == 0) continue ;
		Ans ^= Sum(r) ^ Sum(l-1);
	}
        printf("%lld\n", Ans);
	return 0;
}