Cf #434 Div.1 D Wizard's Tour [构造题]

$Wizard's Tour$

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$\color{blue}{最初想法}$

考虑枚举每个边 $(u, v)$, 设 $u$ 连出的点中度数最小的点为 $a$, $v$ 连出的点中度数最小的点为 $b$,
比较 $u, a$ 与 $v, b$ 的度数和大小, 贪心地选取度数较小的点, 得到一个三元路径,
使用 $multiset$ 维护度数, 枚举边按以上方法找路径即可 .
代码纪念

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$\color{red}{正解部分}$

先从图中剥离出一颗树, 然后 $DFS$, 从底向顶处理, 设当前节点为 $i$, 度数为 $cnt_i$,

• 若 $cnt_i$ 为偶数 $2n$ , 则直接转化为 $n$ 条路径 .
• 若 $cnt_i$ 为奇数 $2n-1$, 则连向父亲的边保存, 其余构成 $(2n-2)/2$ 条路径 .

这样构造, 可以使得最后至多留下一条边, 这条边是连向根节点的 .

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$\color{red}{实现部分}$

$DFS$ 到一个点 $k$ 时, 其连出去的点包含以下类型 $\downarrow$

• 儿子

1. 使用了与父亲相连的边的儿子
2. 没有使用 …

• 父亲

1. 需要使用与父亲相连的边
2. 不需要 …

• 非子非父

1. 已经连过边
2. 没有…

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• 注意根节点没有父亲 .
• 可以使用类似网络流的建图方式删边 .
• 使用标记数组 $vis[]$ 辅助建树 .
• 使用标记数组 $use_fa[]$ 记录是否使用了 $fa$ 的边 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define pb push_back

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 200005;

int N;
int M;
int num0;
int A_cnt;
int cnt[maxn];
int vis[maxn];
int head[maxn];
int Ans[maxn][3];
int use_fa[maxn];

std::vector <int> A[maxn];

struct Edge{ int nxt, to; } edge[maxn<<1];

void Add(int from, int to){
        edge[++ num0] = (Edge){ head[from], to };
        head[from] = num0;
}

void DFS(int k, int fa, int have_fa){ 
        vis[k] = 1;
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(!to) continue ;
                edge[i].to = edge[i^1].to = 0;
                if(!vis[to]){ 
                        DFS(to, k, 1);
                        if(!use_fa[to]) A[k].pb(to); // to使用了与父亲k相连的边
                }else A[k].pb(to);
        }
        if(have_fa) A[k].pb(fa);
        int size = A[k].size();
        if(size <= 1) return ;
        use_fa[k] = !(size & 1);
        for(reg int i = 0; i+1 < size; i += 2)
                Ans[++ A_cnt][0] = A[k][i], Ans[A_cnt][1] = k, Ans[A_cnt][2] = A[k][i+1]; 

}

int main(){
        N = read(), M = read();
        num0 = 1;
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                int u = read(), v = read();
                Add(u, v), Add(v, u);
        }
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) if(!vis[i]) DFS(i, 0, 0);
        printf("%d\n", A_cnt);
        for(reg int i = 1; i <= A_cnt; i ++) printf("%d %d %d\n", Ans[i][0], Ans[i][1], Ans[i][2]);
        return 0;
}