[USACO17FEB] Why Did the Cow Cross the Road II P [树状数组优化dp]

$Why\ Did\ the\ Cow\ Cross\ the\ Road$

题目描述见链接 .

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$\color{red}{正解部分}$

设 $F[i, j]$ 表示 $A$ 序列前 $i$ 项, $B$ 序列前 $j$ 项 的最大匹配数,

• $i,j$ 不相连: $F[i, j] = \max(F[i-1,j],F[i,j-1])$
• $i, j$ 相连: $F[i, j] = \max(F[i-1,j-1]+1)$

经典的最长公共子序列算法 .

考虑优化, 发现 $i$ 与 $j$ 相连当且仅当 $|A_i-B_j| \le 4$, 于是在 $i$ 确定的情况下, $j$ 最多只有 $9$ 个可能的取值,

所以可以记下 $B_j$ 的位置 $pos_{B_j}$ 从小到大枚举 $i$, 再枚举 $9$ 种可能的 $B_j$,
从 $F[i-1, 0 \ ...\ pos_{B_j-1}-1]+1$ 转移过来, 使用 树状数组 优化 最大前缀 即可实现 $O(9\times N \log N)$ .

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$\color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 100005;

int N;
int A[maxn];
int B[maxn];
int tmp[maxn];
int pos[maxn];

struct Bit_Tree{
        int v[maxn], lim;
        void Add(int k, int x){
                while(k <= lim){
                        v[k] = std::max(v[k], x);
                        k += k&-k;
                }
        }
        int Query(int k){
                if(k <= 0) return 0;
                int s = 0;
                while(k){
                        s = std::max(s, v[k]);
                        k -= k&-k;
                }
                return s;
        }
} bit_t;

int main(){
        scanf("%d", &N);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%d", &A[i]);
        for(reg int j = 1; j <= N; j ++) scanf("%d", &B[j]), pos[B[j]] = j;
        bit_t.lim = N;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++){
                int dlim = std::max(1, A[i]-4), ulim = std::min(N, A[i]+4);
                for(reg int j = dlim; j <= ulim; j ++) tmp[j] = bit_t.Query(pos[j]-1) + 1;
                for(reg int j = dlim; j <= ulim; j ++) bit_t.Add(pos[j], tmp[j]);
        }
        printf("%d\n", bit_t.Query(N));
        return 0;
}