机器学习中的线性代数之矩阵求导

转自https://blog.csdn.net/u010976453/article/details/54381248

前面针对机器学习中基础的线性代数知识，我们做了一个常用知识的梳理。接下来针对机器学习公式推导过程中经常用到的矩阵求导，我们做一个详细介绍。

矩阵求导（Matrix Derivative）也称作矩阵微分（Matrix Differential），在机器学习、图像处理、最优化等领域的公式推导中经常用到。

矩阵的微积分本质上是多元变量的微积分问题，只是应用在矩阵空间上而已

根据YY 与 XX 的不同类型（实值、向量、矩阵）给出如下表中的表示：

类型	标量（Scalar）yy	向量（Vector）yy	矩阵（Matrix）YY
Scalar xx	∂y∂x∂y∂x	∂y∂x∂y∂x	∂Y∂x∂Y∂x
Vector xx	∂y∂x∂y∂x	∂y∂x∂y∂x
Matrix XX	∂y∂X∂y∂X

下面我们根据分子的布局（即X的类型）来介绍矩阵的导数求解

0 布局约定（Layout conventions）

事实上，所有求导的法则都可以从最基本的求导规则推导出来。不知你有没发现，不同的文献中，同样的式子求导的结果有时候会不一样，仔细观察会发现刚好相差一个转置，于是我们得先说说求导的两个派别（布局）。

由向量关于向量的求导∂y∂x∂y∂x可以得出两种矛盾的表示：结果表示为n×mn×m 矩阵或m×nm×n 矩阵。也就是把yy 表示为列向量xx 表示为行向量或者反过来表示的问题。

布局（Layout）：在矩阵求导中有两种布局，分别为分母布局(denominator layout)和分子布局(numerator layout)。这两种不同布局的求导规则是不一样的。 
向量 y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥y=[y1y2⋮yn]，关于标量xx 的求导，

在分子布局下，为： 

 

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(1)(1)∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x]

而在分母布局下，为： 

 

∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋯∂yn∂x](2)(2)∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋯∂yn∂x]

通过观察和推导我们可以知道，分子布局和分母布局之间刚好差一个转置，即在分子布局下与原来YY相同，而在分母布局下差一个转置。

 

对于正切矩阵∂y∂x∂y∂x采用分母布局，即Y⊤Y⊤，很不符合表达的习惯，所以本文中我们采用的是分子布局。

1 关于标量的导数

对于 XX 是标量的情况，是我们最熟悉的一种情况。

1.1 标量关于标量X的求导

这中情况就是我们平时的代数求导，直接就是∂y∂x∂y∂x

1.2 向量关于标量X的求导

向量 y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥y=[y1y2⋮yn]，关于标量xx 的求导就是 yy 的每一个元素分别对xx求导，可以表示为 

 

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(3)(3)∂y∂x=[∂y1∂x∂y2∂x⋮∂yn∂x]

此时为正切向量，∂y∂x∂y∂x 为 yy 的正切向量，有映射 yy : Rm⟹RmRm⟹Rm 。

 

1.3 矩阵关于标量X的求导

矩阵对标量的求导类似于向量关于标量的求导，也就是矩阵的每个元素分别对标量xx求导，矩阵 Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥Y=[y11y12⋯y1ny21y22⋯y2n⋮⋮⋱⋮yn1yn2⋯ynn] 对标量xx的导数为 

 

∂Y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y11∂x∂y21∂x⋮∂yn1∂x∂y12∂x∂y22∂x⋮∂yn2∂x⋯⋯⋱⋯∂y1n∂x∂y2n∂x⋮∂ynn∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(4)(4)∂Y∂x=[∂y11∂x∂y12∂x⋯∂y1n∂x∂y21∂x∂y22∂x⋯∂y2n∂x⋮⋮⋱⋮∂yn1∂x∂yn2∂x⋯∂ynn∂x]

 

2 关于向量的导数

2.1标量关于向量 xx 的导数

标量yy 关于向量 x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥x=[x1x2⋮xn] 的求导可以表示为 

 

∂y∂x=[∂y∂x1 ∂y∂x2 ⋯ ∂y∂xn](5)(5)∂y∂x=[∂y∂x1 ∂y∂x2 ⋯ ∂y∂xn]

此时的向量叫做梯度向量。 ∂y∂x∂y∂x 为标量yy 在空间 RnRn 的梯度，该空间以xx 为基。

 

2.2 向量关于向量 xx 的导数

向量函数（即函数组成的向量）y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2⋮yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥y=[y1y2⋮yn] 关于向量x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥x=[x1x2⋮xn] 的导数记作 

 

∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x1∂y2∂x1⋮∂yn∂x1∂y1∂x2∂y2∂x2⋮∂yn∂x2⋯⋯⋱⋯∂y1∂xn∂y2∂xn⋮∂yn∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(6)(6)∂y∂x=[∂y1∂x1∂y1∂x2⋯∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2⋯∂y2∂xn⋮⋮⋱⋮∂yn∂x1∂yn∂x2⋯∂yn∂xn]

此时获得的矩阵∂y∂x​∂y∂x​ 叫做Jacobian 矩阵。

 

2.3 矩阵关于向量 xx 的导数

矩阵 Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y11y21⋮yn1y12y22⋮yn2⋯⋯⋱⋯y1ny2n⋮ynn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥Y=[y11y12⋯y1ny21y22⋯y2n⋮⋮⋱⋮yn1yn2⋯ynn] 对向量x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥x=[x1x2⋮xn] 的导数是推导中最复杂的一种，我们可以表示为 

 

∂Y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y11∂x1∂y21∂x1⋮∂yn1∂x1∂y1n∂x2∂y22∂x2⋮∂yn2∂x2⋯⋯⋱⋯∂y1n∂xn∂y2n∂xn⋮∂ynn∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(7)(7)∂Y∂x=[∂y11∂x1∂y1n∂x2⋯∂y1n∂xn∂y21∂x1∂y22∂x2⋯∂y2n∂xn⋮⋮⋱⋮∂yn1∂x1∂yn2∂x2⋯∂ynn∂xn]

 

3 关于矩阵的导数

我们一般只考虑标量关于矩阵的导数（因为矩阵对向量和矩阵的导数与前面2.3节的内容一致或相似），即标量yy 对矩阵 XX 的导数为 ∂y∂X∂y∂X ，此时的导数是梯度矩阵，可以表示为下式： 

 

∂y∂X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y∂x11∂y∂x12⋮∂y∂x1n∂y∂x21∂y∂x22⋮∂y∂x2n⋯⋯⋱⋯∂y∂xn1∂y∂xn2⋮∂y∂xnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(8)(8)∂y∂X=[∂y∂x11∂y∂x21⋯∂y∂xn1∂y∂x12∂y∂x22⋯∂y∂xn2⋮⋮⋱⋮∂y∂x1n∂y∂x2n⋯∂y∂xnn]

 

4 维度分析

当我们对一些复杂的矩阵乘积求偏导的时候，直接求很难直接求出，这时候我们可以通过分析矩阵的维度来得到结果。例如:

考虑以下导数 ∂Au∂x∂Au∂x ，其中 AA 与xx 无关 且有 A∈Rm×nA∈Rm×n， u∈BbbRn×1u∈BbbRn×1 ，x∈Rp×1x∈Rp×1，我们知道结果肯定和∂u∂x∂u∂x 有关，于是先把 AA 提出求导式，至于到了哪暂时不知道，接着我们知道 ∂u∂x∈Rp×n∂u∂x∈Rp×n，于是 AA 只能转置后添加到后面。因此有 

 

∂Au∂x=$∂u∂xA⊤(9)(9)∂Au∂x=$∂u∂xA⊤

 

再考虑问题 ∂x⊤Ax∂x∂x⊤Ax∂x ，其中 A∈Rn×nA∈Rn×n， x∈Rn×nx∈Rn×n , 
为了分析这个问题我们考虑一个更一半的问题 

 

∂x⊤Ax∂x(10)(10)∂x⊤Ax∂x

其中 A∈Rn×nA∈Rn×n， x∈BbbRn×nx∈BbbRn×n，且 AA 与xx 和 yy 无关 。于是我们利用维度分析，采用非精确的乘积法则，可以将它分为两个部分 

 

∂(x⊤A)y∂x(11)(11)∂(x⊤A)y∂x

于是结果与两部分相关，一个是 

 

∂y∂x∈Rm×n(12)(12)∂y∂x∈Rm×n

另一个是 

 

∂x⊤A∂x=A∈Rm×n(13)(13)∂x⊤A∂x=A∈Rm×n

同样通过维度分析，我们可以得到 

 

∂(x⊤A)y∂x=∂y∂xA⊤x+Ay(14)(14)∂(x⊤A)y∂x=∂y∂xA⊤x+Ay

因此经过维度的比较我们可以得到 

 

∂x⊤Ax∂x=(A⊤+A)x(14)(14)∂x⊤Ax∂x=(A⊤+A)x

 

通过以上两个示例的学习，我们可以知道在求解复杂矩阵的求导问题时，通过维度来判断矩阵的导数形式很简便同时也不容易出错。下图是机器学习中常见的矩阵求导形式，可供参考：

5 总结

在本文中，我们针对机器学习推导中的矩阵求导问题做了一个全面的分析，同时结合前文 深度学习系列（二）——机器学习中的线性代数知识 介绍的机器学习中线性代数的基础知识，我们对线性代数部分做了详细的了解。下一章我们介绍机器学习中涉及到的概率知识。

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/u010976453/article/details/54381248