KMP模式匹配
KMP 模式匹配
\(\text{Update 2021.7.2}\)：用 \(\rightarrow\) 代替了 \(\LaTeX\) 公式中的 \ to\ ，更新了代码中一句不必要的边界判断。
KMP 算法得名的缘由：由三位计算机科学家 \(\text{Knuth}\) ，\(\text{Morris}\)，\(\text{Pratt}\) 共同设计。不是什么看毛片啦
Part 1 KMP算法可以做什么
KMP 算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串 \(A_1\rightarrow A_N\) 是否为字符串 \(B_1\rightarrow B_M\) 的子串，并且求出字符串 \(A\) 在字符串 \(B\) 中各次出现的位置。
通常的 \(O(NM)\) 做法是，尝试枚举字符串 \(B\) 中的每个位置 \(i\) ，把字符串 \(A\) 与 字符串 \(B\) 的后缀 \(B_i\rightarrow B_M\) 对齐，向后扫描注意比较 \(A_1\) 与 \(B_i\) ，\(A_2\) 与 \(B_{i+1}\) ... 是否相等。我们把这种比较过程成为 \(A\) 与 \(B\) 尝试进行“匹配”。
Part 2 KMP算法原理
KMP 算法分为两步：
-
对字符串 \(A\) 进行自我“匹配”，同时求出一个数组 \(next\) ，其中 \(next_i\) 表示 “ \(A\) 中以 \(i\) 为结尾的非前缀子串”与 “ \(A\) 的前缀”能够匹配的最长长度，即：
\[next_i=max\{j\}，j<i，A_{i-j+1}\rightarrow A_i=A_1\rightarrow A_j \]特别地，当 \(j\) 不存在时，令 \(next_i=0\) 。
叙述比较难懂，如图：
简单来说，在下面的 \(A\) 中，找到一个最大的 \(j\) ，把 \(i,j\) 对齐后使得下面的 \(A\) 串从开头到 \(j\) 和上面的 \(A\) 串从 \(i-j+1\) 到 \(i\) 完全一样。此时，三段标为红色的字符串都应该完全相同。
-
对字符串 \(A\) 与 \(B\) 进行匹配，求出一个数组 \(f\) ，其中 \(f_i\) 表示“ \(B\) 中以 \(i\) 结尾的子串”与“ \(A\) 的前缀”能够匹配的最长长度，即：
\[f_i=max\{j\}，j\leq i ，B_{i-j+1}\ to\ B_i=A_1\rightarrow A_j \]步骤 2 和步骤 1 十分相似，只是把上面的字符串换成了 \(B\) 串而已，不再多做解释。
由于 \(f\) 数组和 \(next\) 数组的相似性，下面只讨论 \(next\) 数组的求法，而 \(f\) 数组可以根据相似的方法求出。根据定义，\(next_1=0\) 。接下来我们按照 \(i=2\rightarrow N\) 的顺序依次计算 \(next_i\) 。
假设 \(next_1...next_{i-1}\) 已经计算完毕，当计算 \(next_i\) 时，根据定义，我们需要找到所有满足 \(j<i\) 且 \(A_{i-j+1}\rightarrow A_i=A_1\rightarrow A_j\) 的整数 \(j\) 并取最大值。为了叙述方便，我们称满足这两个条件的 \(j\) 为 \(next_i\) 的“候选项”。
使用朴素算法计算 next 数组
朴素的做法是枚举 \(j\in [1,i-1]\) 并检查 \(A_{i-j+1}\rightarrow A_i\) 与 \(A_1\rightarrow A_j\) 是否相等。
这种算法对于每个 \(i\) 枚举了 \(i-1\) 个非前缀子串，时间复杂度约为 \(O(N^2)\) 。能否更快的求出 \(next_i\) 呢？
引理
若 \(j_0\) 是 \(next_i\) 的一个“候选项”，即 \(j_0<i\) 且 \(A_{i-j+1}\rightarrow A_i=A_1\rightarrow A_j\) ，则小于 \(j_0\) 的最大的 \(next_i\) 的“候选项”是 \(next_{j_0}\) 。换言之，\(next_{j_0}+1\rightarrow j_0-1\) 之间一定没有 \(next_i\) 的候选项。
证明：
反证法。假设存在 \(next_{j_0}<j_1<j_0\) 使得 \(j_1\) 为 \(next_i\) 的“候选项”，即 \(A_{i-j_1+1}\rightarrow A_i=A_1\rightarrow A_{j_1}\) 。
分别取 \(A_{i-j_0+1}\ to\ A_i\) 和 \(A_1\ to\ A_{j_0}\) 的后 \(j_1\) 个字符，显然也相等，即\(A_{i-j_1+1}\rightarrow A_i=A_{j_0-j_1+1}\rightarrow A_{j_0}\) 。从而 \(A_{j_0-j_1+1}\rightarrow A_{j_0}=A_1\rightarrow A_{j_1}\) ，这与 \(next_{j_0}\) 最大的性质矛盾，故假设不成立。
另一方面，\(next_{j_0}\) 显然是 \(next_i\) 的候选项。
证毕。
证明看懂需要花时间，这里放一张我自己画的图帮助理解（原谅画图能力有限）：
把 4 个指针都对齐，使得 \(j_0\) 为 \(next_i\) 的候选项，根据 \(next\) 数组的定义，图中划紫色斜线的部位一定相同，也就有了证明中最后一句的“另一方面，\(next_{j_0}\) 显然是 \(next_i\) 的候选项”。
现在假设出现 \(j_1\) ，且 \(next_{j_0}<j_1<j_0\) （如图），如果 \(j_1\) 为 \(next_i\) 的候选项，根据 \(next\) 数组的定义，那么图中划粉色斜线的部位一定相等，那么 \(next_{j_0}\) 的值应该为 \(j_1\) ，而不是 \(next_{j_0}\) （粉色显然长度比紫色长），这与 \(next\) 数组的“最长”定义相违背，所以 \(j_1\) 一定不存在。
Part 3 使用以上定理优化求解 next 数组
根据引理，当 \(next_{i-1}\) 计算完毕时，我们可以得知 \(next_{i-1}\) 的所有候选项，从大到小依次为：（这里用 LaTeX 不太方便，于是用代码块给出）
next[i-1],next[next[i-1]],next[next[next[i-1]]]...
另外，如果一个整数 \(j\) 是 \(next_i\) 的候选项，那么很显然 \(j-1\) 也应该是 \(next_{i-1}\) 的候选项（整体前移一位）。因此，在计算 \(next_i\) 的时候，候选项从大到小依次为：
next[i-1]+1,next[next[i-1]]+1,next[next[next[i-1]]]+1...
像下面，就是求解 \(next_8\) 的全过程：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
i
A = a b a b a b a|a c
a b a b a|b a a c Fail(next[7]=5)
a b a|b a b a a c Fail(next[5]=3)
a|b a b a b a a c Fail(next[3]=1)
|a b a b a b a a c next[1]=0,A[1]==A[8],next[8]=1
j j+1
可以看到，我们从长到短尝试把 8 前面的字符匹配上（ | 符号之前的元素），但是 8 这一位始终不能匹配。于是到最后，只能找到 \(A_8=A_1\) ，故 \(next_8=1\) 。
当然，如果在找完 next[i-1],next[next[i-1]],next[next[next[i-1]]]... 之前已经匹配上了，那么 \(next_i\) 就是匹配上的那个 \(next\) 值 \(+1\) ，这里不再赘述。
这里因为 \(j\) 始终非负，所以 \(j\) 的变化次数不会超过模式串的长度，故总复杂度 \(O(N+M)\) 。
Part 4 KMP 代码实现
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
//using namespace std;
const int maxn=1000005;
int next[maxn],f[maxn];
char A[maxn],B[maxn];//A为原串，B为匹配串
int n,m;
inline void Init(){
scanf("%s %s",A+1,B+1);
n=std::strlen(A+1),m=std::strlen(B+1);
}
inline void KMP(){
next[1]=0;//定义，next[1]=0
for(int i=2,j=0;i<=m;++i){//j表示next[i-1]
while(j>0 && B[i]!=B[j+1]) j=next[j];//next[i-1]+1先尝试匹配，然后依次变为next[next[i-1]]...
if(B[i]==B[j+1]) j++;//下一个字符相等，匹配长度++
next[i]=j;
}
for(int i=1,j=0;i<=n;++i){
while(j>0 && A[i]!=B[j+1]) j=next[j];//同next数组求解f
if(A[i]==B[j+1]) j++;
f[i]=j;
if(f[i]==m) printf("%d\n",i-m+1);//这说明在A串中找到了B串，输出开头位置
}
}
int main(){
Init();
KMP();
return 0;
}
本博客部分证明参考《算法竞赛进阶指南》，作者李煜东，特此注明。
