2019 牛客多校第一场 C Euclidean Distance ？

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/C

题目大意

　　给定 m 和 n 个整数 a_i，$-m \leq a_i \leq m$，求$\sum\limits_{i = 1}^{n} (\frac{a_i}{m} - p_i)^2$在约束条件$\sum\limits_{i = 1}^{n} p_i = 1, p_i \geq 0$下的最小值。

分析

　　首先，为了方便计算，可以把 p 坐标都扩大 m 倍，最后结果除个 m² 即可。

　　如此一来只需要算$\sum\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2$即可。

　　根据 AM-GM 不等式（算术—几何均值不等式）(这里先假设$p_i \geq a_i 或者 p_i \leq a_i$)：

$$\begin{align*}
\frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2}{n} \geq \sqrt[n]{\prod\limits_{i = 1}^{n} (a_i - p_i)^2} \\
当且仅当 p_1 - a_1 = p_2 - a_2 = \dots = p_n - a_n 时取等号。
\end{align*}$$

　　于是可以得到关于 p_i 的式子：$n(p_i - a_i) = m - \sum\limits_{i = 1}^{n} a_i$。

　　于是答案就显而易见了。

　　但问题是，由于约束条件，p_i 并不会都大于 0 且都大于 $a_i$ 或小于 $a_i$，为了解决这个问题，我们先把 a_i 从大到小排个序，然后利用上面的 AM-GM 不等式。

　　然后我们发现以某个数 k 为分界，$p_1 \dots p_k$ 都是大于等于 0 的，而 $p_{k + 1} \dots p_n$ 都是小于零的。

　　于是我们可以让 $p_{k + 1} \dots p_n$ 全部取 0，然后在 $[1, k]$ 上递归运用 AM-GM 不等式，直到找到一个区间，没有 $p_i$ 小于 0，而这个时候一定有$p_i \geq a_i 或者 p_i \leq a_i$（迷）。（具体可用二分法实现）

　　

　　那有没有可能 $p_{k + 1} \dots p_n$ 中选几个取一个大于 0 的值，答案能更小呢？这个我不晓得，也不会证，不过代码AC了，说明是没可能的。

　　我的理解是，与其给自己，不如均摊。

　　

　　然后这边有大佬的解释：https://blog.nowcoder.net/n/1539da6d6d6e47a6998b5c6f5bba2167?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg

　　思想其实和我一样，大佬解释为推平，推到推不下去为止。

　　

　　正解用了拉格朗日乘子法，但是写的太飘，解释的又太少，有些符号又看不懂什么意思，思维太跳，反正我是看不懂。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
#define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // ?? x ?????? c 
#define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
#define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
 
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
 
template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
    in >> p.first >> p.second;
    return in;
}
 
template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
    for (auto &x: v)
        in >> x;
    return in;
}

template<typename T>
ostream &operator<<(ostream &out, vector<T> &v) {
    Rep(i, v.size()) out << v[i] << " \n"[i == v.size()];
    return out;
}

template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
    out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
    return out;
}

inline int gc(){
    static const int BUF = 1e7;
    static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
    
    if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
    return *bg++;
} 

inline int ri(){
    int x = 0, f = 1, c = gc();
    for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
    for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
    return x*f;
}

template<class T>
inline string toString(T x) {
    ostringstream sout;
    sout << x;
    return sout.str();
}

inline int toInt(string s) {
    int v;
    istringstream sin(s);
    sin >> v;
    return v;
}

//min <= aim <= max
template<typename T>
inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
    return min <= aim && aim <= max;
}
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef pair< int, PII > PIPII;
typedef pair< string, int > PSI;
typedef pair< int, PSI > PIPSI;
typedef set< int > SI;
typedef set< PII > SPII;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< double > VD;
typedef vector< VI > VVI;
typedef vector< SI > VSI;
typedef vector< PII > VPII;
typedef map< int, int > MII;
typedef map< int, string > MIS;
typedef map< int, PII > MIPII;
typedef map< PII, int > MPIII;
typedef map< string, int > MSI;
typedef map< string, string > MSS;
typedef map< PII, string > MPIIS;
typedef map< PII, PII > MPIIPII;
typedef multimap< int, int > MMII;
typedef multimap< string, int > MMSI;
//typedef unordered_map< int, int > uMII;
typedef pair< LL, LL > PLL;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef priority_queue< int > PQIMax;
typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
const double EPS = 1e-8;
const LL inf = 0x7fffffff;
const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int maxN = 1e4 + 7;
const LL ONE = 1;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555;

LL n, m, a[maxN], preSum[maxN], ans; 

int main(){
    //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //INIT();
    while(~scanf("%lld %lld", &n, &m)) {
        For(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
        sort(a + 1, a + n + 1, greater< LL >());
        
        For(i, 1, n) preSum[i] = a[i] + preSum[i - 1];
        
        int l = 1, r = n;
        while(l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            
            if(m - preSum[mid + 1] + (mid + 1) * a[mid + 1] >= 0) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        ans = (m - preSum[l]) * (m - preSum[l]) * l;
        For(i, l + 1, n) ans += a[i] * a[i] * l * l;
        
        LL x = m * m * l * l;
        LL d = __gcd(ans, x);
        ans /= d;
        x /= d;
        if(x == 1) printf("%lld\n", ans);
        else printf("%lld/%lld\n", ans, x);
    }
    return 0;
}
/*
7 16
4 9 -4 -6 -3 5 13
469/1024

8 16
4 9 -4 -6 -3 5 13 7
79/128
*/