什么是偏微分

“偏微分”是多元函数微积分中的核心概念，它和“偏导数”密切相关。我们可以这样理解：

 

 

---

一、一句话定义

偏微分（Partial Differential）
是指多元函数在某一个自变量方向上的微小变化所引起的函数值的微小变化。

更具体地说：
如果函数 f(x,y) 对 x 的偏导数是 ∂x∂f​，那么它的关于 x 的偏微分就是：

∂f=∂x∂f​dx

（这里假设只有 x 变化，y 固定）

---

二、从“全微分”看偏微分

对于一个二元函数 f(x,y)，当 x 和 y 都发生微小变化 dx 和 dy 时，函数的总变化量（近似）为：

df=∂x∂f​dx+∂y∂f​dy

这个 df 叫做 全微分（Total Differential）。

而其中的每一项：

• ∂x∂f​dx → 是 关于 x 的偏微分
• ∂y∂f​dy → 是 关于 y 的偏微分

✅ 所以：全微分 = 所有偏微分之和

---

三、直观例子 🌟

设函数：

f(x,y)=x2y

1. 先求偏导数：

   • ∂x∂f​=2xy
   • ∂y∂f​=x2

2. 那么偏微分为：

   • 关于 x 的偏微分：∂x​f=2xydx
   • 关于 y 的偏微分：∂y​f=x2dy

3. 全微分为：

   df=2xydx+x2dy

这表示：当 x 增加一点 dx，y 增加一点 dy，函数 f 大约增加 df。

---

四、偏微分 vs 偏导数

概念	含义	单位/量纲
偏导数 ∂x∂f​	函数对 x 的变化率（斜率）	[f]/[x]
偏微分 ∂x∂f​dx	由 x 的微小变化引起的函数值的微小增量	与 f 同单位

🔍 类比一元函数：

• 导数：f′(x)
• 微分：df=f′(x)dx

偏微分就是多元版本的“微分”。

---

五、为什么重要？应用场景

1. 误差传播分析
   如果 x 和 y 有测量误差 dx,dy，可用全微分估计 f 的误差。

2. 热力学、电磁学、流体力学
   物理定律常写成偏微分形式，如：

   dU=TdS−PdV（热力学第一定律的微分形式）

3. 优化与梯度计算
   梯度下降中，参数更新本质是沿着全微分的负方向走。

4. 数值方法基础
   有限差分法求解偏微分方程（PDE）就依赖偏微分的离散近似。

---

✅ 小结

• 偏导数：变化率（斜率）→ ∂x∂f​
• 偏微分：由单个变量变化引起的函数微小增量 → ∂x∂f​dx
• 全微分：所有变量共同变化引起的总增量 → df=∑∂xi​∂f​dxi​

💡 记住：“微分”是“导数 × 自变量的微小变化”，偏微分就是多元情况下的这一思想。

---

如果你接下来想了解：

• 什么是偏微分方程（PDE）？
• 如何用 Python 数值计算偏微分？
• 偏微分在神经网络中的作用？