展开导数的定义

当然可以！我们来一起回顾一下导数的定义，这是微积分中最基础、最重要的概念之一。

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一、导数的直观理解

导数描述的是函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。

比如，如果你有一个位置关于时间的函数 ( s(t) )，那么它的导数 ( s'(t) ) 就表示瞬时速度。

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二、导数的严格数学定义（极限形式）

设函数 ( f(x) ) 在点 ( x = a ) 的某个邻域内有定义，如果以下极限存在：

[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} ]

那么我们就说 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处可导，这个极限值 ( f'(a) ) 就是函数在该点的导数。

这个表达式也叫做差商的极限，其中：

• ( f(a+h) - f(a) ) 是函数值的增量（Δy），
• ( h ) 是自变量的增量（Δx），
• 整个分式就是平均变化率，
• 当 ( h \to 0 ) 时，就变成瞬时变化率。

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三、另一种等价写法

有时也会用 ( x \to a ) 的形式来写导数定义：

[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} ]

这和上面的定义完全等价，只是变量替换了一下（令 ( h = x - a )）。

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四、导函数（导数作为函数）

如果我们不只关心某一个点 ( a )，而是对所有 ( x ) 都考虑导数，就得到一个新的函数，叫做导函数，记作：

[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]

只要这个极限在每个 ( x ) 处都存在，( f'(x) ) 就是原函数 ( f(x) ) 的导函数。

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五、举个简单例子：求 ( f(x) = x^2 ) 的导数

用定义来算：

[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x ]

所以 ( \frac{d}{dx} x^2 = 2x )。

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六、小结

• 导数 = 瞬时变化率 = 切线斜率
• 定义核心：差商的极限
• 公式：
  [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
• 可导 ⇒ 函数在该点“光滑”，没有尖角或断点

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如果你接下来想了解常见函数的导数公式（比如 ( \sin x )、( \ln x )、( e^x ) 等），或者求导法则（乘积法则、商法则、链式法则等），也可以继续问我！

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