数论倒数总结

数论倒数总结

一、原理

求解\(a*x≡1(\mod p)\)中的\(x\)。

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方法一：扩展欧几里德定理

将方程变为：\(a*x+b*y=1\)即可。

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方法二：欧拉定理

若\((a,n)=1\)，有\(a^{\phi(n)}≡1(\mod n)\)。

请注意该方法的使用条件。

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方法三：费马小定理

\(a^p≡a(\mod p)\)(\(p\)为质数)

请注意该方法的使用条件。

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二、基础应用

• 求解\(1\)~\(n\)所有数关于\(p\)的数论倒数。

  考虑递推：\(p=k*i+r\)，则有：\(k*i+r≡0(\mod p)\)，两式同时乘以\(i^{-1}\)和\(r^{-1}\)，得：\(i^{-1}≡-k*r^{-1}(\mod p)\)，线性递推。

• 求解阶乘的所有数论倒数。

  考虑使用费马小定理求解\(n!^{-1}\)，然后有：\(i!^{-1}≡(i+1)^{-1}*(i+1)\)。

参考资料：https://www.luogu.com.cn/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan