NOIP2019 格雷码 [提高组]

题目：格雷码

网址：https://www.luogu.com.cn/problem/P5657

通常，人们习惯将所有\(n\)位二进制串按照字典序排列，例如所有\(2\)位二进制串按字典序从小到大排列为：\(00，01，10，11\)。

格雷码（Gray Code）是一种特殊的\(n\)位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有\(2\)位二进制串按格雷码排列的一个例子为：\(00，01，11，10\)。

\(n\)位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

1. \(1\)位格雷码由两个\(1\)位二进制串组成，顺序为：\(0，1\)。

2. \(n+1\)位格雷码的前\(2^n\)个二进制串，可以由依此算法生成的\(n\)位格雷码（总共\(2^n\)个\(n\)位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀\(0\)构成。

3. \(n+1\) 位格雷码的后\(2^n\)个二进制串，可以由依此算法生成的\(n\)位格雷码（总共\(2^n\)个\(n\)位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀\(1\)构成。

综上，\(n+1\)位格雷码，由\(n\)位格雷码的\(2^n\)个二进制串按顺序排列再加前缀\(0\)，和按逆序排列再加前缀\(1\)构成，共\(2^{n+1}\)个二进制串。另外，对于\(n\)位格雷码中的\(2^n\)个二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从\(0∼2^n−1\)编号。

按该算法，\(2\)位格雷码可以这样推出：

1. 已知\(1\)位格雷码为 \(0，1\)。

2. 前两个格雷码为 \(00，01\)。后两个格雷码为\(11，10\)。合并得到 \(00，01，11，10\)，编号依次为 \(0 ~ 3\)。

同理，\(3\) 位格雷码可以这样推出：

1. 已知\(2\)位格雷码为：\(00，01，11，10\)。

2. 前四个格雷码为：\(000，001，011，010\)。后四个格雷码为：\(110，111，101，100\)。合并得到：\(000，001，011，010，110，111，101，100\)，编号依次为 \(0 ~ 7\)。

现在给出 \(n，k\)，请你求出按上述算法生成的\(n\)位格雷码中的\(k\)号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 \(n，k\)，意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个\(n\)位二进制串表示答案。

输入输出样例

输入

2 3

输出

10

输入 #2

3 5

输出 #2

111

输入 #3

44 1145141919810

输出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

说明/提示

【样例\(1\)解释】

\(2\) 位格雷码为：\(00，01，11，10\)，编号从\(0∼3\)，因此\(3\)号串是\(10\)。

【样例\(2\)解释】

\(3\)位格雷码为：\(000，001，011，010，110，111，101，100\)，编号从\(0∼7\)，因此\(5\)号串是\(111\)。

【数据范围】

对于\(50%\)的数据：\(0≤n≤10\)
对于\(80%\)的数据：\(k≤5×10^6\)
对于\(95%\)的数据：\(k≤2^{63}\)
对于\(100%\)的数据：\(1≤n≤64,0≤k<2^n\)

---

如果模拟，那么只能过\(50\)分。

首先，确定第\(k\)个数的位置在哪里。若\(k<2^n\)，该数在序列前半部分；反之，则在右半部分。
该数的第\(n\)位就是如此确定下来的：若在前半部分，第\(n\)位数上为\(0\)；若为后半部分，第\(n\)位数上为\(1\)。

我们继续。

若该数位于前半部分，那么\(n-1\)位即可以按上述规律确定；如果不幸在后面了，\(n-1\)位规律是相反的。

分治！

换句话说，确定第\(i+2\)位数之后，该数的位置仅影响的是第\(i+1\)位的确定，但跟第\(i\)位毫无关联。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int maxn = 64 + 5;
ull n, k, p[maxn];
int main()
{
	cin >> n >> k;
	p[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) p[i] = p[i - 1] << 1ll;
	int cur = 0;
	for(int i = n; i > 0; -- i)
	{
		if(!cur)
		{
			if(k < p[i - 1]) 
			{
				putchar('0');
				cur = 0;
			}
			else 
			{
				putchar('1');
				cur = 1;
			}
		}
		else
		{
			if(k < p[i - 1]) 
			{
				putchar('1');
				cur = 0;
			}
			else 
			{
				putchar('0');
				cur = 1;
			}
		}
		k %= p[i - 1];
	}
	return 0;
}