CF547D Mike and Fish

做法 1

将相同 \(x\) 的交替染色，相同 \(y\) 的也交替染色。具体的，为了使得行列不冲突，我们将相同 \(x,y\) 的相邻点两两连边（多出的别管），然后跑二分图染色。

注意到这样不会冲突（因为横竖边交替），且满足每行两种颜色数至多差 \(1\) 条件。

做法 2

对行、列分别建点，如果存在点 \((x,y)\) 就在行 \(x\) 和列 \(y\) 之间连一条。现在我们要给每条边定向，使其能找到一种每个点的出入度差不超过 \(1\) 的方案。

假若所有点的度数都是偶数，那么直接跑欧拉回路即可。但是很显然这样只是极少数的情况。

此时一个思想是建虚边。我们每次可以通过建立一条虚边，消除掉一个 \(x\) 中的奇度点和一个 \(y\) 中的奇度点，但是这样可能会剩下若干 \(x\) 中的偶数点或者 \(y\) 中的偶数点。所以考虑此时建立一些虚点，让剩下的这些点全部朝着虚点连边。

最后对每个连通块跑欧拉回路，按照遍历方向给边定向即可。

做法 3

考虑网络流。

依旧对行、列建点。每次遇到 \((x,y)\) 也仍然在它们之间连边，此时流量上下界为 \([0,1]\)，其中 \(1\) 表示染成红色。

源点连向第 \(i\) 行的边，流量上下界为 \([\lfloor\frac{c_i}{2}\rfloor,\lceil\frac{c_i}{2}\rceil]\)，其中 \(c_i\) 是第 \(i\) 行的点个数。

第 \(i\) 列连向汇点的边，流量上下界为 \([\lfloor\frac{d_i}{2}\rfloor,\lceil\frac{d_i}{2}\rceil]\)，其中 \(d_i\) 是第 \(i\) 列的点个数。

最后直接跑出一个可行流，就可以得到方案。