2025.6.26题单 做题小记

CF1515H

初步考虑和简化

有关二进制操作的数据结构问题，用动态开点 \(\text{Trie}\) 来维护。

在 \(\text{Trie}\) 树上，XOR 的标记是好维护的，然而 AND 和 OR 的操作相对冲突，考虑只保留其中一种。

注意到，\(x\) AND \(y\) 容易表示成 \(\sim((\sim x)\text{ OR }(\sim y))\)，其中取反符号 \(\sim\) 也可以用 XOR \(2^{20}-1\) 表示。所以现在只需要实现 OR 和 XOR 就行了。

具体做法

考虑每次将区间 \([l,r]\) 给 \(\text{split}\) 出来，处理完后再合并回去。

我们将在每个 \(\text{Trie}\) 的节点上维护以下标记：

• 结构类：\(lc_p,rc_p\) 表示，\(p\) 节点的左/右子节点
• 贡献类：\(cnt_p\) 表示，\(p\) 节点的子树中的颜色个数（用于算答案）
• \(\text{tag}\) 类：\(tg_p\) 表示，\(p\) 节点的子树中，哪些位是要取反的

每次 XOR 操作直接对 \([l,r]\) 区间整个打取反 \(x\) 的标记。

每次 OR 操作需要将左儿子的信息合并到右儿子上。如果暴力往下找要合并的节点，单次复杂度会退化成 \(O(\text{整棵树的大小})\)。更加具体的，如果子树大小在遍历后没有变化，那么这次遍历的时间复杂度贡献就是不对的。

对上述假做法的修正

实际上，假若子树中没有要合并的点了（即不存在一个同时有左右儿子的点），则可以通过打反转 \(\text{tag}\) 实现整颗子树 OR 修改的效果。

考虑再维护一些标记来确保子树中存在要合并的点：

• 辅助类：\(t0_p\) 表示，\(p\) 节点子树中，是父节点左儿子的那些二进制位
• 辅助类：\(t1_p\) 表示，\(p\) 节点子树中，是父节点右儿子的那些二进制位

考虑要是 \(x\) AND \(t0_p\) AND \(t1_p\) 不为 \(0\)，则三者 AND 后的那个最高位必定存在要合并的节点，那么我们就可以往下递归；反之就此停止。

复杂度

空间复杂度 \(O(n\log V)\)，瓶颈在于 \(\text{split}\) 操作新建的 \(O(n\log V)\) 个节点。

时间复杂度 \(O(n\log^2 V)\)，瓶颈在于 \(\text{OR}\) 操作的时候。每合并掉一个节点需要单次 \(O(\log V)\)，至多 \(O(n\log V)\) 个节点，故而总复杂度就是二者相乘。

洛谷 P9528

直接 \(\text{DP}\) 难以优化，也难以看出来有什么良好的性质。

尝试刻画路径。单看整条路径，规律不那么显然。考虑归纳决策后进行考虑。

考虑一些简单的拐弯数少的情况。现在要从 \((i,x)\to(j,y)\)，同时记 \(i,j\) 两行中间的行号为 \(k\)（即行编号从小到大为 \(i,k,j\)）。

容易写出各种方法的贡献式（这里仅列举 \(3\times 2\) 的情况，\(2\times 3\) 同理）：

1. \((i,x)\to(i,y)\to(j,y)\)

   花费：\((y-x)A_i+(j-i)B_y\)

2. \((i,x)\to(j,x)\to(j,y)\)

   花费：\((j-i)B_x+(y-x)A_j\)

3. \((i,x)\to(k,x)\to(k,y)\to(j,y)\)

   花费：\((k-i)B_x+(y-x)A_k+(j-k)B_y\)

考虑我们什么时候会拐弯，也就是方案 \(3\)。尝试对比贡献式——整理可得，方案 \(3\) 比前两种更优的充要条件是：

\[\frac{A_k-A_i}{k-i}<\frac{B_y-B_x}{y-x}<\frac{A_j-A_k}{j-k} \]

假若需要上式满足，则 \(A\) 中必须要求：

\[\frac{A_k-A_i}{k-i}<\frac{A_j-A_k}{j-k} \]

注意到，这个形式意味着，所有 \(A\) 中的转折点（类似 \(i,k,j\) 这种），形成一个下凸壳。所以我们需要对于 \(A,B\) 两数组，求出各自的下凸壳。

然后根据上述，第一步走 \((i,x)\to(k,x)\) 而不是 \((i,x)\to(i,y)\) 当且仅当：

\[\frac{A_k-A_i}{k-i}<\frac{B_y-B_x}{y-x} \]

所以只需要每次比较斜率，贪心的合并 \(A,B\) 两个下凸壳，顺便统计一下答案即可。