2025.6.25题单 做题小记

AGC059C

对于任意 \(P_i<P_j\)，我们连一条 \(i\to j\) 的有向边。
现在限制条件就转化为，对于每个时刻 \(i\)，不存在形如 \(A_i\to B_i\) 或者 \(B_i\to A_i\) 这样的不合法路径。

尝试拆解限制。考虑在竞赛图中，三元环是一个比较好的考虑角度。
对于任意三元环，记三条边中最后加入的边的端点为 \(A_i,B_i\)，剩下一个点为 \(u\)。此时，不应当存在长为 \(2\) 的不合法路径：\(A_i\to u\to B_i\) 或 \(B_i\to u\to A_i\)。

容易发现，假若不存在长为 \(2\) 的不合法路径，那么也不存在长度 \(>2\) 的不合法合法路径。

考虑反证法证明。考虑长度 \(>2\) 的路径中最短的，记为 \(u_1\to u_2\to \dots \to u_{len}\)，其中 \(u_1=A_i,u_2=B_i\)。
对于 \(u_1,u_2,u_3\)，分讨可得必然有 \(u_1\to u_3\) 的边。显然此时可以把 \(u_2\) 去掉让路径更短，违背了“最短不合法路径”这一定义。证毕。

对每条边钦定一个 \(t_i=0/1\) 表示，是 \(A_i\to B_i\) 还是 \(B_i\to A_i\)。
根据上述判定方法，最后必然有一堆要求 \(t_i,t_j\) 二者 相同/不同 的限制，并查集维护即可。