积性函数与莫反入门小记

积性函数与莫比乌斯反演

记号与约定

下文中，\(f,g,h\) 表示积性函数的名字，大写的 \(F,G,H\) 表示 \(f,g,h\) 的前缀和，\(n\) 表示函数的参数，\(d\) 表示 \(n\) 的一个约数。

若有特殊情况请见具体给出的定义。

基础定义及性质

• 定义数论函数为定义域是正整数，而值域是复数的函数。
• 定义积性函数为满足如果 \(a,b\) 互质则 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。
• 定义完全积性函数为满足 \(\forall a,b\) 互质则 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。
• 定义两个数论函数 \(f(n),g(n)\) 的卷积 \(h(n)\) 为：\(h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，记作 \(h=f\times g\)。

性质

• 完全积性函数是积性函数的特例。也就是完全积性函数 \(\subseteq\) 积性函数。
• 对于一个积性函数 \(f(n)\) 满足 \(n=\prod p_i^{k_i}\)，只需要知道所有的 \(f(p_i^{k_i})\) 就能求出。
• 对于一个完全积性函数 \(f(n)\) 满足 \(n=\prod p_i^{k_i}\)，只需要知道所有的 \(f(p_i)\) 就行了。
• 积性函数的数论卷积还是积性函数（后面会证明）。

常见的积性函数

设 \(n=\prod_{i=1}^cp_i^{k_i}\)

• \(\epsilon(n)=[n=1]\)
• \(1(n)=1\)
• \(Id(n)=n\)
• \(d(n)=\sum_{d|n}1\)
• \(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
• \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)
• \(\mu(n)=[\max(k_1,k_2,\dots)\leq 1](-1)^{c}\)（即莫比乌斯函数）

“定义与性质”中性质的第四条的证明

假设存在两个积性函数 \(f,g\)，那么有：

\[\begin{align} &(f\times g)(p_1^{k_1}p_2^{k_2})\\ &=\sum_{i=1}^{k_1}\sum_{i=2}^{k_2}f({p_1}^i{p_2}^j)g({p_1}^{k_1-i}{p_2}^{k_2-j})\\ &=\sum_{i=1}^{k_1}\sum_{i=2}^{k_2}f({p_1}^i)f({p_2}^j)g({p_1}^{k_1-i})g({p_2}^{k_2-j})\\ &=\sum_{i=1}^{k_1}f({p_1}^i)g({p_1}^{k_1-i})\sum_{i=2}^{k_2}f({p_2}^j)g({p_2}^{k_2-j})\\ &=(f\times g)(p_1^{k_1})\times (f\times g)(p_2^{k_2}) \end{align} \]

省略中间的步骤就是积性函数的式子：

\[(f\times g)(p_1^{k_1}p_2^{k_2})=(f\times g)(p_1^{k_1})\times (f\times g)(p_2^{k_2}) \]

证毕。

常见的卷积

卷积满足交换律与结合律。

• \(\epsilon\times f=f\)

  证明

  \[\begin{align} &\sum_{d|n}\epsilon(d)f(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}[d=1]f(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}[d=n]f(n)\\ &=f(n) \end{align} \]

• \(1\times f=d\)

  证明

  \[\begin{align} &\sum_{d|n}1(d)f(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}f(d)\\ &=d(n) \end{align} \]

• \(1\times Id=\sigma\)

  证明

  \[\begin{align} &\sum_{d|n}1(d)Id(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}Id(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}Id(d)\\ &=\sigma(n) \end{align} \]

• \(1\times \varphi=Id\)

  证明

  \[\begin{align} &\sum_{d|n}1(d)\varphi(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\ &=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i\times d,n)=d]\\ &=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n[d|i\wedge\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|n}[\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{i=1}^n 1\\ &=Id(n) \end{align} \]

• \(1\times \mu=\epsilon\)

  证明

  由于两者都是积性函数，不妨先对所有的 \((1\times\mu)(p_i^{k_i})\) 进行考虑。

  \[\begin{align} &(1\times\mu)(p_i^{k_i})\\ &=\sum_{j=0}^{k_i}\mu(p_i^{j})\\ &\because \mu(1)=1,\mu(p_i)=-1,\forall \mu(i)=0[i \not= 1\wedge i\not= p_i]\\ &\therefore\sum_{j=0}^{k_i}\mu(p_i^{j})=[j=0]\\ \end{align} \]

  把所有 \((1\times\mu)(p_i^{k_i})\) 乘起来，答案为 \(1\) 当且仅当所有的 \((1\times\mu)(p_i^{k_i})\) 都为 \(1\)。此时 \(\forall k_i=0\)，也就是满足 \(n=1\)。

莫比乌斯反演

• 如果有 \(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)，则有 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\)。

• 如果有 \(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\)，则有 \(g(n)=\sum_{n|d}f(d)\mu(\frac{d}{n})\)。

• 前面的那个结论比较常用，后面的相对不那么常用。
  由于两者证明类似，故而以前面的结论举例。

  证明

  \[\begin{align} g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d|n}\sum_{e|d}g(e)\times\mu(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{e|n}g(e)\sum_{(e|d)\wedge(d|n)}\mu(\frac{n}{d})\times 1(\frac{d}{e})\\ &=\sum_{e|n}g(e)\sum_{d|\frac{n}{e}}\mu(\frac{n}{d\times e})\times 1(d)\\ &=\sum_{e|n}g(e)(\mu\times 1)(\frac{n}{e})\\ &=\sum_{e|n}g(e)\epsilon(\frac{n}{e})\\ &=\sum_{e|n}g(e)[\frac{n}{e}=1]\\ &=g(n) \end{align} \]

  \(g(n)\) 在代入 \(f\) 之后最终还是能得到 \(g(n)\)，证毕。

• 第一个结论有更为简单的形式：

  \(f=g\times 1\Longleftrightarrow f\times \mu=g\times 1\times \mu=g\times (1\times \mu)=g\)。